崔 康，叶永升

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北235000)

1 引言

Wiener指数是应用于化学中一个经典的拓扑指数、Wiener是由Harold Wiener在1947年作为路径输入而引入的[1].Wiener指数倡导性地研究了饱和碳氢化合物与其结构性质之间的关系，根据碳原子之间的路径距离的计数，提出一个刻划分子结构的指数.Wiener指数等于碳氢化合物中所有最短碳-碳路径之和.分子的这一简单的数字表示已经被证实在定量结构关系(QSPR)中是一个非常有用的量[2-5].到目前为止，各国学者对Wiener指数进行了大量的研究并被最新应用于通讯网络等的研究中.

关于Wiener指数的研究已取得了很大进展，在文献[6]中已经研究了单圈图的Wiener指数，文献[7]中研究了路和圈联的Wiener指数.本文给出路和圈的平方的Wiener指数.

设 P是具有 n个顶点的路，连接图中所有距离为2的点所形成的图形、我们称之为路的平方 P2，其顶点集为 V= ｛v1，v2，…，vn｝，边集 E= ｛vlv2，vlv3，…，vn-2vn-1，vn-2vn，vn-1vn｝.

证明对 k进行数学归纳法

(2)假设当 k=l-1时，结论是成立的，即

下面我们证明当 k=l时，结论是正确的.

同理，从顶点 v2l+1到其他顶点形成的顶点对之间距离之和是由归纳假可知，故对于 k=l.结论也成立.由(1)和(2)得:

从而得出如下的定理.

3 圈的平方()的 Wiener指数

设 C是具有 n个顶点的圈，连接图中所有距离为2的点所形成的图形，我们称作圈的平方，记作.设Cn=vlv2v3… vnv1，则

证明对 k进行数学归纳法.我们先证明 W()=2k2(2 k+1)是成立的.

所以新增4点后相对于原图增加了

新增4点之后，原4 l个顶点形成的顶点对之间的距离也相应增加如下:顶点 v4l，v4l-1，v4l-2，…，v2l+4到顶点 vl距离增加了2，v2l+3到顶点……