浅析函数的定义域

2012-08-15郭君琴

科学之友 2012年12期

关键词：增函数值域定义域

郭君琴

（定襄中学校，山西忻州 035400）

函数是一种对应关系，是非空数集A到非空数集B的对应。对应法则、定义域、值域是函数的三要素。而值域由定义域和对应法则唯一确定，由此可以看出定义域的重要性。以下笔者从两方面谈谈函数的定义域：一是函数的定义域怎么求；二是定义域的重要性。

我们首先来谈第一个问题，定义域怎么求？定义域是自变量x的取值范围，有3种情况：

（1）如果给的是具体函数，只要建立一个关于自变量x的一个不等式组，求其解即可。

（2）如果是实际问题，除函数解析式有意义外，还应考虑自变量取值的实际意义；如某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为xm，则宽为（50-x）m，由题意得：

函数关系式为：S=x（50-x）

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。因为当自变量取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：（0，50）。

（3）如果是抽象函数该怎么办呢？抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式的函数，由于其表现形式的抽象性，使得定义域的求解难度增大，解题思路不明显，做起题来感觉很困难。

事实上，只要抓住两点就能使该问题很明朗。第一，函数定义域的概念：是自变量的取值范围，所以y=f[g（x）]的定义域依旧是x的范围，而不是中间变量g（x）范围。第二,函数的精髓：f（x）中的x可以用任意数或式替换（在给定范围内），但替换部分应与x取值相同，即范围相同。所以，y=f[g（x）]中的 g（x）的取值范围与f（x）中的x的取值范围是相同的。抓住此两条，抽象函数求定义域的问题就会不攻而破。

例1：f（x）定义域为[-1，1]，求y=f（1-x2）定义域。

分析：求y=f（1-x2）的定义域就是求y=f（1-x2）中自变量x的范围，因为f（1-x2）中的1-x2与f（x）中x的范围一致，所以-1≤1-x2≤1。解不等式得，即函数的定义域为[-

例2：y=f（3-2x）定义域为（-1，2），求f（x）定义域。

分析：f（x）中x与y=f（3-2x）中3-2x的范围一致。因为y=f（3-2x）定义域为（-1，2），所以由-1＜x＜2 推出 -1＜3-2x＜5。所以f（x）定义域为（-1，5）。

接下来我们谈第二个问题，即函数定义域的重要性。函数的定义域是函数的灵魂，研究函数性质时，一定要从定义域出发。定义域、对应关系、值域是函数的三要素，定义域不同，函数就不同。所以，离开定义域研究函数是没有任何意义的。下面笔者就此举几个日常容易犯错误的几个例子。

例3：已知函数y=x2-4x+6，在下列条件下分别求值域。

（1）x缀{-1，0，1，3，4} （2）x缀R （3）x缀（1，5] （4）x缀（2，5）

分析：同一对应关系下，定义域不同，函数就不是同一个函数，值域就很可能不同。

在（1）中，定义域只包含几个孤立的数，相应的值域也是由几个孤立的数构成。这几个数是由自变量x的取值通过对应关系计算得到的，于是值域为{11、6、3}。

在（2）中，定义域为 R，函数在（-∞，2）上是减函数，在(2，+∞)上是增函数。当x=2时，函数有最小值，值域为：[2，+∞)。

在（3）中，区间内包含对称轴，对称轴左侧函数为减函数，右侧为增函数，所以当x=2时，函数有最小值。而在离对称轴较远的x=5的位置有最大值，值域为[2，11]。

在（4）中，区间在对称轴右侧，函数为增函数，所以f（2）＜y＜f（5），值域为（2，11）。