于艳红 刘 洋 李 宏

（1.山东英才职业技术学院 基础部，济南 250116；2.内蒙古大学 数学科学学院，呼和浩特 010021）

本文研究如下一类半线性四阶强阻尼波动方程［1－2]

式中，Ω是R2中具有Lipschitz连续边界∂Ω的有界区域，J＝（0，T]，0＜T＜∞，其中函数f（u）是足够光滑的，且关于u满足Lipschitz连续性条件：也即存在L＞0，使得

系数A（x）是有界的正函数，即存在正常数m和M满足以下不等式

并且假设初值函数u0，u1，边值函数g都是足够光滑的.

近年来，混合有限元方法方面的研究得到了足够的重视，文献［3－5]中使用传统标准的混合元方法分别研究椭圆问题、抛物问题和一些非线性发展方程问题，文献［6]研究了二阶线性强阻尼波动方程的混合有限元方法.文献［2]讨论了四阶强阻尼波动方程一维和多维情形的新的H1－Galerkin混合格式，还给出了有限元解的存在唯一性的证明，并给出了误差估计.但是对于半线性四阶强阻尼波动方程的标准混合有限元方法的研究还没有出现过.本文利用文献［6]的思想提出了半线性四阶强阻尼波动方程的一种混合有限元格式，并分别给出了相应的投影，引理和误差估计证明.

为了下面分析问题需要，首先给出一些必要的定义及记号.（·，·）和‖·‖分别定义为L2内积及范数.并且定义加权L2（Ω）＝（L2（Ω））2范数‖·‖A为‖v‖A＝（A－1v，v）1／2，v∈（L2（Ω））2.并且L2（Ω）的子空间H（div；Ω）如下定义的

相应的范数定义为

1 混合格式和重要引理

令σ＝A（x）（▽utt＋▽ut＋▽u），可将原方程化为如下一阶系统：

令V＝H（div；Ω）和W＝L2（Ω），下面给出混合有限元的弱形式，求｛（u），σ｝：［0，T]→W×V使得：

其中〈·，·〉是定义在L2（∂Ω）的内积和v是∂Ω的外法向量.

本文使用 Riviart－Thomas空间［4]Vh×Wh⊂V×W，问题（4）～（5）的半离散……