谌贻庆，徐 鑫

1 马尔可夫模型

1.1 概念与基本原理

（1）马尔可夫链定义

给定随机序列{Xn,n≥0}。如果对任意正整数k≥2，任意的 0≤t1＜t2＜...＜tk+1，任意的非负整数i1,i2,...,ik，E为Xn的状态空间，条件概率函数总是满足下式：

P(Xtk+1=ik+1|Xt1=i1,...,Xtk=ik)=P(Xtk+1=ik+1|Xtk=ik)(ik+1∈E)

那么，称{Xn,n≥0}为离散时间的马尔可夫链，简称为马尔可夫链（或马氏链）[2]。

（2）一步转移概率

称条件概率 pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i}为马尔可夫链{Xn,n≥0}在时刻n的一步转移概率，其中i,j∈E，简称为转移概率。设P表示一步转移概率pij所组成的矩阵，且状态空间E={1,2,...}，则：

称为系统的一步转移概率矩阵。

（3）n步转移概率

（4）马尔可夫过程基本原理

按照系统的发展，时间可离散化为n=0,1,2,3,...i,....，对每个系统的状态可用随机变量表示，并且对应一定的概率，该概率称为状态概率。如果转移概率只与目前相邻两状态的变化有关，即下阶段的状态只与现在状态有关而与过去无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移系统过程，称为马尔可夫过程。

马尔可夫过程具有以下特性：

①设马尔可夫链{Xn,n≥0}的转移概率矩阵为P=(pij)n×n，如果非负数列{πj}满足：

则称{πj,j∈I}为马尔可夫链{Xn,n≥0}的平稳分布。

②设马尔可夫链{Xn,n≥0}有有限状态空间I={1 ,2,...,n}，如果存在正整数n0，使对一切i,j∈I都有，则此马尔可夫链是遍历的。

1.2 马氏检验

对于随机序列{Xn,n≥0} ，用 pij表示在(X1,X2,...,Xn)中从状态i经过一步转移到状态 j的频数，并将(pij)n×n的各列之和除以各行各列的总和所得到的值记为N⋅j，即：

2 运用马尔可夫链预测农产品生产价格指数

2.1 状态的划分与转移概率矩阵

从中国统计年鉴上得知，自农产品生产价格指数创立以来每个季度的数据，取2002～2008年共计28个季度的数据进行研究。具体数据如表1所示。

表1 2002～2008年每季度农产品生产价格指数

将指数分为五个区间，每个区间代表一种状态，如表2所示。

表2 各区间所表示的状态

由表1和表2可以统计得到每季度的农产品生产价格指数的状态转移次数，所得结果如表3所示。

表3 状态转移次数

综上可得，农产品生产价格指数的一步概率矩阵

2.2 对农产品生产价格指数的马氏检验

根据以上所得数据，经计算得到统计量 χ2=36.1582。给定显著性水平α=0.05，查表可得分位点的值χ2(16)=26.3，χ2＞χ2(16)，{Xn,n≥0}符合马氏性，可以利用马尔可夫链来处理农产品生产价格指数。

2.3 农产品生产价格指数马氏链的遍历性

由以上统计得到的P为一步转移概率矩阵，可以根据其计算出多步转移概率矩阵，用P2，P3表示三步转移概率矩阵。

由以上计算可得，经过足够的时间，从任一状态出发，达到任意状态的概率都大于0，因此各个状态是互通的，从而可知该马氏链是遍历的。

2.4 农产品生产价格指数的马氏链稳定概率向量

根据马氏链稳定条件，设π=(x1,x2,...,xn)为原马氏链的平稳分布，从而有下式：

代入数据，得到方程：

解得(x1,x2,x3,x4,x5)=(0.16,0.32,0.2,0.16,0,16)

从而农产品生产价格指数的马氏链稳定概率为(0.16,0.32,0.2,0.16,0,16).由表2可知，初始概率为(0.2143,0.3214,0.1786,0.1429,0.1429)

2.5 对农产品生产价格指数马氏链数据的分析

由于数据的有限性，数据吻合的不是很好，但是数据大体符合实际情况。农产品生产价格指数处于状态2时最稳定，即当农产品处于100～106时，指数最稳定。一方面，随着指数的增高，数据将慢慢的趋于不稳定，会很快转移；另一方面，随着指数的降低，例如处于100点之下时，数据也是相对不稳定的，会很快转移。这和实际生活中的现象比较符合。农产品生产价格指数反映了全国农产品生产价格水平和结构变动情况，当指数下降时，间接说明全国主要农产品价格的下跌，在一定程度上就会损害农业生产者的利益，也可能导致农产品市场的供不应求，此时，除了市场机制会起作用外，政府等相关部门也会采取相应的政策，用以支持农业生产，从数据看，2003年第四季度农产品生产价格指数增长较快，而在当时，党中央作出了一系列积极决策，是政策实施密度较大的一年，这就解释了上文研究所得的结果。

当农产品生产价格指数持续升高时，说明农产品价格整体在高位运行，农产品市场可能会出现供过于求的状况，比如2007年和2008年，农产品价格持续上涨，针对这一情况，中国国务院在2008年1月30日晚发布了《中共中央国务院关于切实加强农业基础建设进一步促进农业发展农民增收的若干意见》。《意见》称，切实保障农产品供给与稳定市场价格是中国政府当前和近期工作的主要任务。从此可以看出，当农产品价格指数偏高时，也就是农产品价格升高时，除了市场机制外，更多的是中央等部门在发挥市场调节的作用。

2.6 对2009年农产品生产价格指数的预测

2008年第四季度的农产品生产价格指数为101.61，处于状态2，即此时的初始概率为π(0)=(0,1,0,0,0)，所以2009年第一季度与第二季度的指数状态概率向量为：

和实际数据相比（实际中，2009年第一季度农产品生产价格指数为94.14，第二季度为93.39），这有一定的出入，预测显示，最稳定的区间仍然是区间2，即处于100-106之间，但指数值处于第一区间的概率明显上升，而处于高水平的区间的概率很小（几乎为0），说明农产品价格在2009年将有可能遭遇一轮下跌的趋势，而在现实情况下，2008年爆发的金融危机对我过的农业影响不容忽视，2009年中央也出台了一系列针对金融危机的农业新政策。为了剔除金融危机的影响，以2009年第一季度为初始数据，则此时的初始向量为π(0)=(1,0,0,0,0)，则第二季度的概率向量为：

这说明，如果农产品生产价格指数持续在低位运行，那么其持续在低位运行的概率将大大增加，仅仅依靠市场机制的作用，很难发挥其维稳的作用，从而更加的需要中央等有关部门干预农产品市场。

3 农产品生产价格指数未来走势的预测

3.1 指数走势的转移概率矩阵

整理表1，再加上国家统计局最新发布的2009年前三季度的数据（分别为94.14，93.39，97.33），观察数据，取±2个点的值为分界线，增长超过一点视为上升，下降超过一点视为下跌，在一点之内视为持平，分别记做状态E1,E2,E3。根据统计农产品生产价格指数的统计规律，统计伊始的第一季度视为持平从而有表4。

表4 2002～2009年三季度供31个季度指数的走势

根据可以计算出指数的状态转移情况，如表5。

表5 农产品生产价格指数的状态转移情况

得到状态转移概率矩阵P：

3.2 马氏检验

根据以上所得数据，经计算得到统计量 χ2=20.2994。给定显著性水平α=0.05，查表可得分位点的值χ2(4)=9.49，χ2＞χ2(4)，{Xn,n≥0}符合马氏性，可以利用马尔可夫链来处理。

3.3 指数走势稳定概率向量

设指数状态向量为(x1,x2,x3)，其中x1代表上升，x2代表持平，x3代表下跌。再将各项数据代入上述稳定条件方程：

所以关于农产品生产价格指数走势的稳定概率向量为(0.3576,0.3329,0.3059)

3.4 对产品生产价格指数走势的稳定概率向量的分析

通过以上的分析，随着以后每个季度对农产品生产价格指数的统计，指数将以35.76%的概率上升超过两点，以33.29%的概率维持在两点之内，以30.59%的概率下跌超过两点。所以可以看出，农产品生产价格指数在长期内，上升的概率将大于下跌的概率，从而在长期内，国内主要农产品的价格将更有可能呈现出普涨的局面。

[1] 何迎晖,钱伟民.随机过程简明教程[M].上海:同济大学出版社,2004.

[2] 彭志行,夏乐天.马尔可夫链及其在股市分析中的应用[J].应用数学，2004,(17).

[3] 夏莉,黄正洪.马尔可夫链在股票价格预测中的应用[J].商业研究,2003,(10).