赵士银

（宿迁学院教师教育系，江苏宿迁223800）

1 预备知识

定义1［1]设H＝（｛Hα，Δα，εα｝α∈π，m，u）为π－代数，给定一簇K－线性映射S＝｛Sα：Hα→，称H为Hopfπ－代数，若H满足以下三个条件：（1）对任意的α∈π，（Hα，Δα，εα）是余代数；（2）对任意的α，β∈：Hα⊗Hβ→Hαβ和u：K→P1都为余代数同态；（3）对任意的α∈π都有

对任意的α，β，γ∈π．

定义2［1]设P＝（｛Pα，mα，Δ，ε）为－余代数，给定一簇K－线性映射S＝｛Sα：Pα→．称P为Hopf－余代数，若P满足以下三个条件：（1）对任意的α∈，（Pα，mα，uα）是代数；（2）对任意的α，β∈，Δα，β→Pα⊗Pβ和ε：P1→K都为代数同态；（3）对任意的α∈π都有

设f：V→W是线性映射，则有线性映射f＊：W＊→V＊为〈f＊（w＊），v〉＝〈w＊，f（v）〉，其中w＊∈W＊，v∈V．设A＝，m，u）为－代数，A0是A的对偶空间，由映射mα，β：Aα⊗Aβ→Aαβ，u：K→A1得到映射→（Aα⊗和u＊→K＊．定义ΔA0＝→⊗｝是如下合成（Aα⊗→⊗，定义：→K是如下合成：K＊→K．

2 主要结论

本节我们首先给出局部有限维Hopfπ－代数H的对偶H0的代数结构．

证明 对于任意的α，β，γ∈π，任取x∈Aα，y∈Aβ，z∈Aγ，f∈一方面有：

另一方面：

引理2 设H＝（｛Hα，Δα，m，u）是局部有限维的Hopfπ－代数，则H的对偶空间H0＝（｛，｝）可成为一个Hopf－余代数，其中

证明 首先，由于H＝（｛Hα，m，u）是局部有限维Hopfπ－代数，由Hopfπ－代数的定义，H同时也是有限维的π－代数，从而由引理1可知，H的对偶空间H0＝（）是一个π－余代数．

其次，对于任意α∈π，由于（Hα，Δα，εα）是余代数，故由文献［4] 得，（）都是代数．

即可，其中S＊＝：＝→Hα｝α∈π．

同理可证得

故对于任意的α∈π，

综上所述，由Hopfπ－余代数的定义，H0＝（｛，是一个Hopfπ－余代数．

同理有：若J＝｛Jα｜Jα⊆是H0的一个子空间簇，则定义J⊥＝，其中＝｛hα∈Hα｜〈hα，jα〉＝0，∀jα∈Jα｝，则是J⊥＝是H的一个子空间簇．

定义3［1]设A＝，m，u）为一个－代数，W＝｛Wα｜Wα⊆是A＝，m，u）的一簇子空间，若对于任意的α，β∈π都满足：

（2）mα，β（Aα⊗Wβ）⊆Wαβ，则称W＝｛Wα｜Wα为A＝，m，u）的一个右－理想．

定义4［1]设C＝，Δ，ε）为－余代数，I＝｛Iα｜Iα⊆是C＝，Δ，ε）的一簇子空间，若对于任意的α，β∈都满足：

（1）Δα，β（Iαβ）⊆Iα⊗Cβ，则称I＝｛Iα｜Iα⊆为C＝，Δ，ε）的一个左π－余理想；

证明 仅证明J＝｛Jα｜Jα⊆为H的左－理想的情形，对于J＝｛Jα｜Jα⊆为H的右－理想的情形，类似可证得．

首先由于H为局部有限维的Hopfπ－余代数，故由引理2，H的对偶H0是局部有限维的Hopf－余代数．又由于J＝｛Jα｜Jα⊆为局部有限维的Hopfπ－代数H的左π－理想，故mαβ（Jα⊗Hβ）⊆Jαβ．最后由Hopf－余代数H0的结构映射构造过程可知：由于对于任意的α，β∈＝．故

所以

证明 类似定理1可证得．

证明 由定理1和定理2可直接推得．

［1] Virelizier A．Hopf group－coalgebras［J] ．Journal of Pure and Applied Algebra，2002（171）：75－122．

［2] 颜美玲，李金其．Hopf－代数［J] ．龙岩学院学报，2005，23（6）：1－3．

［4] Sweedler M E．Hopf algebra［M] ．New York：Benjiamin，1969．