韩开山，刘宝芳

（中北大学理学院，山西太原030051）

本文考察下列三阶三点非线性特征值问题解的存在性与多解性

于是M≥0．非线性三阶三点边值问题

受姚庆六和Henderson等人研究的启发［1－3]，本文在非线性项f下有界的情况下（因而允许f取负值），利用锥拉伸与锥压缩型的Krasnosel′skii不动点定理处理三阶三点非线性特征值问题（P）并获得一些新的存在性与多解性的结论．本文主要工作是对文献［1] 的结果进行改进和推广，主要思想来自论文［1－3] ．

1 引理

显然g：［0，1] ×（－∞，＋∞）→［0，＋∞）连续．

考察三点边值问题

其中ω0（t）＝λMt（t2－3t＋6η－3η2）．注意到

引理1 ω＊是问题（P）的解当且仅当＝＋ω0是问题（P′）的解．证明 必要性：设ω＊是问题（P）的解，则满足ω＊‴（t）＝λf（t，ω＊（t））且ω＊（0）＝ω＊′（η）＝ω＊″（1）＝0，这样

所以ω＊是问题（P）的解．

设齐次方程ω‴（t）＝0，0≤t＜1在问题（P）中边界条件下的Green函数为G（t，s）［4]，即

显然G（t，s）＞0，（t，s）∈（0，1）×（0，1）．经计算

其中

众所周知，算子T的不动点即为问题（P′）的解．

引理2 T：K→K是全连续的．

证明 设ω∈K，那么Tω∈C（［0，1] ，［0，＋∞）），因为（Tω）‴（t）＝λg（s，ω（s）－ω0（s））≥0，0≤t≤1，（Tω）″（t）在［0，1] 上是一个递增函数，因为（Tω）″（1）＝0，有（Tω）″（t）≤0，0≤t≤1，因此Tω是一个凹函数，即对任意t1，t2，γ∈［0，1] ，

因为（Tω）（0）＝0，存在t0∈［0，1] ，使得（Tω）（t0）＝‖Tω‖．利用Tω的凹性，

若t0＝1，可得（Tω）（t）≥‖Tω‖t≥‖Tω‖min｛t，1－t｝，t∈［0，1] ；

从而（Tω）（t）≥‖Tω‖min｛t，1－t｝，t∈［0，1] ，所以（Tω）（t）≥‖Tω‖｛t，1－t｝＝σ‖Tω‖．

从而T：K→K且由Ascoli－Arzela定理可知T是全连续的．

引理3 （锥拉伸和锥压缩型的krasnosel′skii不动点定理）［5－6]

设E是Banach空间，K⊂E是E中的锥，假设Ω1及Ω2是E的开子集，0∈Ω1，且⊂Ω2，T：K∩→K是全连续算子．如果以下两条件之一成立：

（ⅰ）‖Tu‖≤‖u‖，∀u∈K∩∂Ω1且‖Tu‖≥‖u‖，∀u∈K∩∂Ω2；

（ⅱ）‖Tu‖≤‖u‖，∀u∈K∩∂Ω2且‖Tu‖≥‖u‖，∀u∈K∩∂Ω1．

对于l＞0，本文采用下列记法：

还需下列极限：

2 主要结果

下面给出本文的主要结果并且列出如下假设：

（H1）f（t，ω（t））：［0，1] ×（－∞，＋∞）→（－∞，＋∞）连续且下有界，

（H2）M＝－min｛inf｛f（t，l）：（t，l）∈［0，1] ×（－∞，＋∞）｝，0｝，

（H3）ψ∞＞0，φ0＜∞且＜

（H4）φ0＞0，ψ∞＜∞且＜

定理1 假设（H1）－（H3）成立，则对任意λ∈，非线性特征值问题（P）至少有一个解．

令Ω1＝｛ω∈K：‖ω‖＜R1｝，当ω∈∂Ω1，0≤ω（s）≤R1，有

令Ω2＝｛ω∈K：‖ω‖＜R2｝，当ω∈∂Ω2，σR2≤ω（s）≤R2，α≤t≤β，

利用引理2及引理3，算子T有一个不动点，即问题（P′）有一个解∈K，再根据引理1知ω＊＝－ω0为问题（P）的解．

定理2 假设（H1）、（H2）、（H4）成立，则对任意λ∈，非线性特征值问题（P）至少有一个解．

令Ω4＝｛ω∈K：‖ω‖＜R4｝，当ω∈∂Ω4，σR4≤ω（s）≤R4，α≤t≤β，g（s，ω（s）－ω（s））≥ψ（R）≥R，044

所以

利用引理2及引理3，算子T有一个不动点，即问题（P′）有一个解∈K，再根据引理1知ω＊＝－ω0为问题（P）的解．

当λ＝1时，有如下结果：

定理3 假设（H1）、（H2）成立，且存在两个正数a，b使得φ（a）≤aA，ψ（b）≥bB，则问题（P）至少有一个解ω＊满足ω＊＋ω0∈K并且min｛a，b｝≤‖ω＊＋ω0‖≤max｛a，b｝，此外，若

证明 因为A＜B，容易看出a≠b，记Ωa＝｛ω∈K：‖ω‖＜a｝，Ωb＝｛ω∈K：‖ω‖＜b｝，如果ω∈∂Ωa，则0≤ω（s）≤a，0≤t≤1，于是，0≤g（t，ω（t）－ω0（t））≤φ（a）≤aA，0≤t≤1，则

如果ω∈∂Ωb，则σb≤ω（s）≤b，α≤t≤β，于是，g（t，ω（t）－ω0（t））≥ψ（b）≥bB，α≤t≤β，则

利用引理2及引理3，算子T有一个不动点，即问题（P′）有一个解∈K，且a≤‖‖≤b，再根据引理1我们知ω＊＝－ω0为问题（P）的解．

定理得以证明．

定理4 假设（H1），（H2）成立，且存在三个正数a＜b＜c使得下列条件之一成立：

证明 仅证（ⅰ），因为ψ：［0，＋∞）→［0，∞）连续，知存在a＜b1＜b＜b2＜c使得ψ（b2）＞b2B并且ψ（b1）＞b1B，这样分别对于｛a，b1｝，｛b2，c｝使用定理3可推出所需的结论．

定理5 假设（H1）、（H2）成立，且存在四个正数a＜b＜c＜d使得下列条件之一成立：（ⅰ）φ（a）≤aA，ψ（b）＞bB，φ（c）＜cA，ψ（d）≥dB，

（ⅱ）ψ（a）≥aB，φ（b）＜bA，ψ（c）＞cB，φ（d）≤dA

证明 仅证（ⅰ），因为ψ：［0，＋∞）→［0，∞）连续，φ：［0，＋∞）→［0，∞）连续，知存在

a＜b1＜b＜b2＜c1＜c＜c2＜d使得ψ（b2）＞b2B并且ψ（b1）≥b1B，φ（c1）＜c1A，φ（c2）≤c2A，这样分别对于｛a，b1｝，｛b2，c1｝，｛c2，d｝使用定理3可推出所需的结论．

［1] 姚庆六．On the existence of positive solution for a nonlinear third－order three－piont boundary value problem［J] ．东北数学，2003，19（3）：244－248．

［2] 姚庆六．含下有界非线性项的一类弹性梁方程解的存在性与与多解性［J] ．应用数学学报，2004，27（1）：117－122．

［3] Henderson J．Positive solutions for nonlinear eigenvalue problems［J] ．J．Math．Anal．Appl，1997，208：252－289．

［4] Anderson D．Multiple positive solutions for a three－point boundary value problem［J] ．Math．comp．mode，1998，27（6）：49－57．

［5] 毛安民，栾世霞．非线性特征值问题的正解［J] ．数学学报，2003，24A（2）：167－174．

［6] 钟承奎，范先令，陈文源．非线性泛函分析引论［M] ．兰州：兰州大学出版社，1998．