马晓峰，孟丽娜，张连忠

（1.黑龙江工程学院 数学系，黑龙江 哈尔滨150050；2.黑龙江科技学院 数学系，黑龙江 哈尔滨150022）

1 引言与预备知识

线性保持问题主要是刻画保持一些不变量的线性算子的形式，行列式是矩阵理论及其应用中非常重要的不变量之一[1－5]。然而半环上矩阵的行列式不能像域和交换环上那样去定义，即使是非负交换整半环也不行，主要原因是半环中没有加法逆元，因此，考虑用双行列式替换行列式。2007年，Beasley等在非负交换整半环上刻画了保持双行列式的线性变换[6]，本文将保持双行列式的条件减弱，在非负交换整半环上分别刻画了保持正行列式、负行列式、积和式的线性变换形式。

一个半环R称为非负的，若∀a，b∈R，由a＋b＝0可推出a＝b＝0；R称为交换的，若∀a，b∈R均有ab＝ba；R称为整半环，若∀a，b∈R，由ab＝0可推出a＝0或b＝0；本文中，R都表示非负交换整半环。

用Mn（R）表示R上所有n×n矩阵组成之集，那么可证明Mn（R）对于通常的矩阵加法与乘法构成一个半环，称Mn（R）为R上所有n×n矩阵构成的矩阵半环。对于任意的矩阵A∈Mn（R），用aij或Aij表示A中第i行第j列交叉处的元素，At表示A的转置矩阵，I表示n×n单位矩阵，J表示所有元素都是1的n×n矩阵，Eij表示（i，j）位置是1其余位置是0的n×n矩阵，Eij称为矩阵单元，αEij（α∈R）称为加权矩阵单元。记

定义1.1[7]设 A＝（aij）∈Mn（R），规定｜A为 A 的 正 行 列 式，为 A 的 负 行 列 式，bidet A＝（｜A｜＋，｜A｜－）为A 的双行列式，其中Sn表示集合｛1，2，…，n｝上的n阶对称群，An表示n 阶交错群。

显然，per（A）＝｜A｜＋＋｜A｜－。

定义1.2[6]变换T：Mn（R）→Mn（R）称为（P，Q，B）算子，如果存在置换矩阵P，Q∈Mn（R）和矩阵B＝（bij）∈Mn（R），其中bij∈R 可逆，∀（i，j）∈，使得T（X）＝P（X◦B）Q，∀X∈Mn（R）或者T（X）＝P（X◦B）tQ，∀X∈Mn（R）。

定理1.3[6]若 T：Mn（R）→Mn（R）是一个线性变换，则下列条件等价：

1）T双射；

2）T满射；

3）存在置换σ∈Sn2，可逆元bij∈R，∀（i，j）∈~N，使得T（Eij）＝bijEσ（i，j），∀（i，j）∈~N，其中：~N＝｛（i，j）｜1≤i，j≤n｝。

2 正行列式保持

令T是Mn（R）到其自身的线性变换，若T满足｜T（X）｜＋＝｜X｜＋，∀X∈Mn（R），称T 为Mn（R）上保持正行列式的线性变换。本节刻画了n≥4时，Mn（R）上保持正行列式的线性满射形式。

引理2.1 n≥4时，若T：Mn（R）→Mn（R）是线性变换，T（Eij）＝bijEσ（i，j），∀（i，j）∈~N，其中：σ是集合上一置换，bij∈R 可逆，∀（i，j）∈~N，｜T（X）｜＋＝｜X｜＋，∀X∈Mn（R），那么T是（P，Q，B）算子。

证明：第一步：对任意i（1≤i≤n），存在某一指标l（1≤l≤n）和置换τi∈Sn，使得σ（i，j）＝（l，τi（j）），∀j（1≤j≤n）成立或者σ（i，j）＝（τi（j），l），∀j（1≤j≤n）成立。若不然，则存在指标i，j，k，j≠k，使得T（Eij）和T（Eik）的非零元既不在一行，也不在一列。当n≥4时，可找到n－2个矩阵单元Ei1，j1，…，Ein－2，jn－2使 得T（Eik）＋Ei1，j1＋…＋Ein－2，jn－2是一置换矩阵，且｜A｜＋＝1，由定理1.3可知T 可逆，于是T－1（A）＝＋＋T－1（Ei1，j1）＋…＋T－1（Ein－2，jn－2），矩阵T－1（A）有非零元和在同一行，T－1（Eil，jl）仅有一个非零元素，∀l＝1，2，…，n－2，这样T－1（A）有一零行，因此，｜T－1（A）｜＋＝0，与T 保持正行列式矛盾。

第二步：根据第一步的结论，对任意i（1≤i≤n），存在指标li（1≤li≤n）和置换τi∈Sn，使得σ（i，j）＝（li，τi（j））对所有j（j＝1，2，…，n）成立，或者σ（i，j）＝（τi（j），li）对所有j（j＝1，2，…，n）成立。

类似地，对任意j（1≤j≤n），存在指标kj（1≤kj≤n）和置换δj∈Sn，使得σ（i，j）＝（δj（i），kj）对所有i（i＝1，2，…，n）成立，或者σ（i，j）＝（kj，δj（i））对所有i（i＝1，2，…，n）成立。

这样，对于所有i，j＝1，2，…，n存在某指标k，l使得T（Ci）和T（Rj）等于Cl◦B 或者Rk◦B。

由于σ是双射，故对所有的（i，j）∈~N，有σ（i，j）＝（li，τi（j））＝（δj（i），kj）成立或者对所有的（i，j）∈~N，σ（i，j）＝（τi（j），li）＝（kj，δj（i））成立。

第四步：证明τ1＝…＝τn，δ1＝…＝δn。

不失一般性，假设σ（i，j）＝（li，τi（j））＝（δj（i），kj）成立（σ（i，j）＝（τi（j），li）＝（kj，δj（i））类似可证）。那么对于任意i1、i2、j，有σ（i1，j）＝ （li1，τi1（j））＝（δj（i1），kj），σ（i2，j）＝ （li2，τi2（j））＝（δj（i2），kj），也就是对于所有i1、i2、j，有τi1（j）＝τi2（j）＝kj，因此，τ1＝…＝τn，记作τ＝τi，1≤i≤n。

类似可证明δ1＝…＝δn，记作δ＝δi，1≤i≤n。

第五步：由上面证明可知对所有的（i，j）∈~N，σ（i，j）＝（δ（i），τ（j））成立或者对所有的（i，j）∈~N，σ（i，j）＝（τ（j），δ（i））成立，这样存在置换矩阵 P、Q∈Mn（R）使得T（X）＝P（X◦B）Q，∀X∈Mn（R）或者T（X）＝P（X◦B）tQ，∀X∈Mn（R），即T 是（P，Q，B）算子。

定理2.2 n≥4时，若T：Mn（R）→Mn（R）是线性满射，则｜T（X）｜＋＝｜X｜＋，∀X∈Mn（R）的充分必要条件是：T是（P，Q，B）算子，这里P，Q同奇偶，矩阵B 满足b1σ（1）…bnσ（n）＝1，∀σ∈An。进一步，P、Q由T唯一确定。

证明：充分性显然，下面只需证明必要性。

由定理1.3和引理2.1可知T 是（P，Q，B）算子。首先证明置换矩阵P、Q或者都是奇置换矩阵或者都是偶置换矩阵，即同奇偶。因为｜I｜＋＝1，这样有

因为P、Q都是置换矩阵，所以｜PQ｜＋＝1，故P、Q同奇偶。

又因为｜T（X）｜＋＝｜P（X◦B）Q｜＋＝｜X◦B｜＋＝｜X｜＋，∀X∈Mn（R），所以当X 取遍所有的偶置换矩阵时，代入式（1）可得b1σ（1）…bnσ（n）＝1∀σ∈An。

下面证P、Q的唯一性，分为三种情况：

1）假设对任意矩阵X∈Mn（R），存在某置换矩阵P、Q、P′、Q′∈Mn（R）和矩阵B＝（bij）∈Mn（R），其中bij∈R 可逆，∀（i，j）∈~N，使得P（X◦B）Q＝P′（X◦B）Q′，那么（P′）－1P（X◦B）＝（X◦B）Q′Q－1，∀X∈Mn（R），当X◦B＝I时，（P′）－1P＝Q′Q－1，记作F。那么有F（X◦B）＝（X◦B）F，∀X∈Mn（R），因此，可以得到F是一个具有可逆对角元的数量矩阵。又由于F＝（P′）－1P＝Q′Q－1，其中P、P′、Q、Q′∈Mn（R）是置换矩阵，所以F＝I，故P＝P′，Q＝Q′，即P、Q是唯一的。

依据分级考试的结果,研究对象为河南某高校非英语专业2016级学生,他们是同一个院系的同一级别的四个班级A,B,C,D。其中A班和B班为实验班,C班和D班为控制班(具体人数见下页,表1)。根据《欧洲语言共同参考框架》中对学习者英语能力的界定标准,所选研究对象符合POA理论对研究对象的要求。

2）对任意矩阵X∈Mn（R），情形P（X◦B）tQ＝P′（X◦B）tQ′可类似证明。

3）对任意矩阵X∈Mn（R），情形P（X◦B）Q＝P′（X◦B）tQ′是不可能的。因为不存在非零矩阵F使得F（X◦B）＝（X◦B）tF，∀X∈Mn（R）。

3 负行列式保持

令T是Mn（R）到其自身的线性变换，若T满足｜T（X）｜－＝｜X｜－，∀X∈Mn（R），称T 为Mn（R）上保持负行列式的线性变换。本节刻画了n≥4时，Mn（R）上保持负行列式的线性满射形式。

引理3.1 n≥4时，若T：Mn（R）→Mn（R）是线性变换，T（Eij）＝bijEσ（i，j），∀（i，j）∈~N，其中σ是集合上一置换，bij∈R 可逆，∀（i，j）∈~N，｜T（X）｜－＝｜X｜－，∀X∈Mn（R），那么T是（P，Q，B）算子。

证明：和引理2.1类似，略。

定理3.2 n≥4时，若T：Mn（R）→Mn（R）是线性满射，则｜T（X）｜－＝｜X｜－，∀X∈Mn（R）的充分必要条件是：T是（P，Q，B）算子，这里P、Q同奇偶，矩阵B 满足b1σ（1）…bnσ（n）＝1，∀σ∈Sn／An。进一步，P，Q由T唯一确定。

证明：和定理2.2类似，略。

4 积和式保持

引理4.1 n≥2时，若T：Mn（R）→Mn（R）是线性变换，T（Eij）＝bijEσ（i，j），∀（i，j）∈~N，其中σ是集合上一置换，bij∈R 可逆，∀（i，j）∈~N，per（T（X））＝per（X），∀X∈Mn（R），那么T 是（P，Q，B）算子。

证明：第一步：证明对任意i（1≤i≤n），存在某一指标l（1≤l≤n）和置换τi∈Sn使得σ（i，j）＝（l，τi（j）），∀j（1≤j≤n）成立或者σ（i，j）＝（τi（j），l），∀j（1≤j≤n）成立。若不然，则存在指标i，j，k，j≠k，使得T（Eij）和T（Eik）的非零元既不在一行，也不在一列。当n≥2时，可找到n－2个矩阵单元Ei1，j1，…，Ein－2，jn－2使得Ei1，j1＋…＋Ein－2，jn－2是一置换矩阵，那么per（A）＝1，由定理1.3可知T 可逆，于是T－1（A）＝b－1ijEij＋＋T－1（Ei1，j1）＋ … ＋T－1（Ein－2，jn－2），矩 阵T－1（A）有非零元和在同一行，T－1（Eil，jl）仅有一个非零元素，∀l＝1，2，…，n－2，这样T－1（A）有一零行，因此，per（T－1（A））＝0，与T 保持积和式矛盾。

其余的证明和引理2.1类似，可以证得T是（P，Q，B）算子。

定理4.2 n≥2时，若T：Mn（R）→Mn（R）是线性满射，则per（T（X））＝per（X），∀X∈Mn（R）的充分必要条件是：T是（P，Q，B）算子，这里矩阵B满足b1σ（1）…bnσ（n）＝1，∀σ∈Sn。进一步，P，Q 由T唯一确定。

证明：充分性显然，下面证明必要性。

由定理1.3和引理4.1可知，T 是（P，Q，B）算子。

因为per（T（X））＝per（P（X◦B）Q）＝per（X◦B）＝per（X），∀X∈Mn（R），所以当X取遍所有的置换矩阵时，代入上式可得b1σ（1）…bnσ（n）＝1，∀σ∈Sn。

P，Q唯一性的证明与定理2.2类似。

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