马晓峰，孟丽娜，张连忠

（1.黑龙江工程学院 数学系，黑龙江 哈尔滨150050；2.黑龙江科技学院 数学系，黑龙江 哈尔滨150022）

1 引言与预备知识

线性保持问题主要是刻画保持一些不变量的线性算子的形式，行列式是矩阵理论及其应用中非常重要的不变量之一[1－5]。然而半环上矩阵的行列式不能像域和交换环上那样去定义，即使是非负交换整半环也不行，主要原因是半环中没有加法逆元，因此，考虑用双行列式替换行列式。2007年，Beasley等在非负交换整半环上刻画了保持双行列式的线性变换[6]，本文将保持双行列式的条件减弱，在非负交换整半环上分别刻画了保持正行列式、负行列式、积和式的线性变换形式。

一个半环R称为非负的，若∀a，b∈R，由a＋b＝0可推出a＝b＝0；R称为交换的，若∀a，b∈R均有ab＝ba；R称为整半环，若∀a，b∈R，由ab＝0可推出a＝0或b＝0；本文中，R都表示非负交换整半环。

用Mn（R）表示R上所有n×n矩阵组成之集，那么可证明Mn（R）对于通常的矩阵加法与乘法构成一个半环，称Mn（R）为R上所有n×n矩阵构成的矩阵半环。对于任意的矩阵A∈Mn（R），用aij或Aij表示A中第i行第j列交叉处的元素，At表示A的转置矩阵，I表示n×n单位矩阵，J表示所有元素都是1的n×n矩阵，Eij表示（i，j）位置是1其余位置是0的n×n矩阵，Eij称为矩阵单元，αEij（α∈R）称为加权矩阵单元。记

定义1.1[7]设 A＝（aij）∈Mn（R），规定｜A为 A 的 正 行 列 式，为 A 的 负 行 列 式，bidet A＝（｜A｜＋，｜A｜－）为A 的双行列式，其中Sn表示集合｛1，2，…，n｝上的n阶对称群，An表示n 阶交错群。

显然，per（A）＝｜A｜＋＋｜A｜－。

定义1.2[6]变换T：Mn（R）→Mn（R）称为（P，Q，B）算子，如果存在置换矩阵P，Q∈Mn（R）和矩阵B＝（bij）∈Mn（R），其中bij∈R 可逆，∀（i，j）∈，使得T（X）＝P（X◦B）Q，∀X∈Mn（R）或者T（X）＝P（X◦B）tQ，∀X∈Mn（R）。

定理1.3[6]若 T：Mn（R）→Mn（R）是一个线性变换，则下列条件等价：

1）T双射；

2）T满射；

3）存在置换σ∈Sn2，可逆元bij∈R，∀（i，j）∈~N，使得T（Eij）＝bijEσ（i，j），∀（i，j）∈~N，其中：~N＝｛（i，j）｜1≤i，j≤n｝。……