刘刚

(衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南衡阳 421002)

具有旋转对称根的多项式的牛顿映照

刘刚

(衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南衡阳 421002)

主要研究特殊多项式的牛顿映照的动力学性质.通过研究根的分布和重数,揭示了当多项式的根关于某点具有一定的旋转对称性,且对称根的重数都相同时,此类多项式的牛顿映照要么是双曲的,要么是次双曲的.另外多项式的牛顿映照的动力学性质为多项式的某些问题提供了新的思路.

牛顿映照;Julia集;双曲;次双曲

1 引言及主要结果

给定多项式f,则如下定义的公式

称之为关于多项式f的牛顿映照,简称为牛顿映照.牛顿映照Nf的有限不动点与f的根一一对应,进一步而言,f的根为Nf的(超)吸性不动点.因此牛顿映照迭代给出了多项式的一种求根算法,该算法即为经典的牛顿方法.很多数学工作者从复动力系统的角度对其进行了研究,文献[1]证明了所有根的直接吸引域是单连通的.随后文献[2]利用拟共形手术得到牛顿映照的Julia集是连通的.文献[3]对三次多项式的牛顿映照进行了组合分类.文献[4]利用Yoccoz拼图片的方法证明了存在一个三次多项式,它的牛顿映照具有Cremer点但其Julia集仍可局部连通,此性质与多项式的动力学性质截然相反.关于牛顿映照Julia集的对称性问题,可参见文献[5].尽管已有很多关于牛顿映照的动力学结果,然而对高次多项式的牛顿映照,其结果相对较少且缺乏好的分析方法.

研究……