高恩伟,张金霞

(辽宁大学数学院,辽宁 沈阳 110036)

高恩伟,张金霞

(辽宁大学数学院,辽宁 沈阳 110036)

用扩张平移方法将基域中不含有ι次本原单位根的素理想分解问题转化为基域中含有ι次本原单位根的素理想分解问题,完全解决了素理想P在代数数域F的ι次根扩张F()中的分解问题.

素理想分解;全分歧的;素的;完全分裂

1 引言及预备知识

众所周知,素理想分解问题是代数数论的重要课题之一,利用基域中素理想的分解状况,不仅可以刻画基域的有限扩张问题[1],而且由类域论知道,它还可以决定素理想本身的性质,这说明,如何判断基域中的素理想在其有限扩张中的分解状况是一个十分有意义的问题.由于在F为代数数域,且含有ι次本原单位根(ι为素数)时.文献[2]完全解决了F中素理想在F()中的分解问题.因此,只就F中不含有ι次本原单位根时的情况来讨论.相关文献参见文献[3-5].

以下设F为代数数域,ϕ为其秩为1的非平凡,非阿基米德赋值,R为其赋值环,P为的极大理想(素理想),xι−µ在F上不可约(µ∈R),ι为素数,ςι为ι次本原单位根,若K/F为ι次Galois扩张,则有下述的

证明由定理的证明过程中即可得出.

注由于文献[2]完全解决了基域中含有ι次本原单位根时的ι次根扩张中的素理想分解问题,因而上述定理完全解决了代数数域的素数次根扩张中的素理想分解问题,这一结果包含了文献[3]中相应的结果,改进了文献[4]的结果.

[1]丁石孙.Galois扩张的一个算术刻划[J].数学进展,1983,12(4):291-293.

[2]Erich Hecke.Lectures on the Theory of Algebraic Numbers[M].New York:Springer-Verlag,1981.

[3]Velez W Y.Prime ideal decomposition in F()[J].Paci fi c Journ.,1978,75:589-600.

[4]郝一凡,高恩伟,张金霞……