刘娟

(河南理工大学数学与信息科学学院,河南 焦作 454000)

带强迫项变系数组合KdV方程的有理展开式精确解

刘娟

(河南理工大学数学与信息科学学院,河南 焦作 454000)

利用符号计算软件Maple,在一个新的广义的Riccati方程有理展开法的帮助下,求出了带强迫项变系数组合KdV方程的有理展开式的精确解,该方法还可被应用到其他变系数非线性发展方程中去.

广义的Riccati方程有理展开法;变系数组合KdV方程;强迫项;类孤波解

1 引言

物理学中的很多现象都可以用非线性发展方程来描述.在研究非线性物理现象中,寻找非线性发展方程(NEEs)的精确解起着非常重要的作用并引起了越来越多学者的兴趣,多年来许多数学家、物理学家为此做了大量的工作[118].常系数非线性方程只能近似地反映实际物质运动变化规律,而变系数非线性方程却能更加准确地描述物质的属性,因此研究变系数非线性方程的精确解显得十分重要.近年来,人们已经发现了一些有效的求解方法,如变分法、截断展开法、齐次平衡法、B¨acklund变换法、F-展开法、分离变量法、Jacobi椭圆函数法、形变映射法等[1115].沿着有理展开的思路,本文提出了一种新的代数方法,称为新的广义的Riccati方程有理展开法,来求解带强迫项变系数组合KdV方程:

其中 α(t),m(t),β(t),R(t)为 t的任意函数.当 R(t)=0,α(t),m(t),β(t)为常数时转化为组合KdV方程,该方程是KdV和mKdV方程的复合,广泛应用于等离子体物理、固体物理、原子物理、流体力学和量子常理论等领域.在等离子体物理中它描述了无Laudau衰变小振幅离子声波的传播,在固体物理中用于解释通过氟化钠单晶的热脉冲传播,同时还可以很好地描述在具有非谐束缚粒子的一维非线性晶格中波的传播,又可作为流体力学中的一个模型方程;当R(t)=0,α(t)=0,m(t),β(t)为常数时转化为mKdV方程,用来描述非调和晶格中声波的传播和一个无碰撞等粒子体的Alfen波的运动;当R(t)=0,m(t)=0,α(t),β(t)为常数时转化为KdV方程,众所周知,它是最典型的非线性色散波动方程的代表.因此,研究方程(1)的精确解有重要的理论和实际价值.

2 方法概述

下面,叙述这个方法的主要内容.

对于物理学中给定的关于x,t的包含两个变量的非线性发展系统:

3 带强迫项变系数组合KdV方程的有理展开式精确解

注 3广义性:i)如果将(4)式中的参数h1和h2取不同的值,则tanh函数展开法[7],广义的Tanh函数展开法[8],改进的扩展的tanh函数展开法[9],广义的双曲函数法[10],Riccati方程有理展开法[11]和广义的Riccati方程有理展开法[12]都可以由新方法得到,即这里提出的方法更具有一般性.ii)文献[3-10]中常系数KdV方程的解是常数,为变量的线性函数,在变系数KdV方程中去掉了这些限制,使之成为更一般的函数,从一定意义上来说更具有一般性.

注 4可行性:由于本文中降低了对未知量的限制,自然就增加了计算的复杂程度,尽管计算机符号系统可以进行复杂繁琐的计算,但有时还是困难的,甚至是不可能的.为此,对于未知函数不得不尝试一些特殊函数以使得到的微分方程可解.

4 结论

本文构造了一种新的广义的Riccati方程有理展开法,将Riccati方程做了推广,使之结果更一般,适普性更强,并得到了更一般的新解.并且,运用此方法成功求出了带强迫项变系数组合KdV方程的一些精确解,包括类周期解,类孤波解等,由于实践证明这种方法可以适用于许多其他非线性方程.另外,如何将该方法推广到变系数的具有任意次幂项的非线性KdV方程,还值得进一步的研究.

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Exact solution of rational expansion method to the variable coefficient combined KdV equation with forced term

Liu Juan
(Department of Mathematics and Information,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454000,China)

With the aid of symbolic computation system Maple,several new kinds of generalized exact solutions for the variable coefficient combined KdV equation with forced term are obtained by using a new generalize Riccati equation rational expansion method.This approach can also be applied to other variable coefficient nonlinear evolution equations.

generalized Riccati equation rational expansion method, variable coefficient combined KdV equation,forced term,solitary-wave-like solutions

O175.2

A

1008-5513(2012)05-0705-06

2012-05-10.

国家自然科学基金(61104119).

刘娟(1977-),硕士,副教授,研究方向：机械化数学和孤立子理论.

2010 MSC:35Q53