吴 莉

(1. 阿坝师范高等专科学校 数学系, 四川 汶川, 623002; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都, 610066)

模糊关系中算子σ、α、ε之间的关系

吴 莉

(1. 阿坝师范高等专科学校 数学系, 四川 汶川, 623002; 2. 四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都, 610066)

讨论了模糊集中算子σ、α、ε之间的关系, 研究了它们之间的结合律与分配律, 证明了ε算子对σ算子分配律成立. 给出了σ算子、α算子以及ε算子结合律成立的条件, 给出了σ算子对α算子、α算子对σ算子、σ算子对ε算子、ε算子对σ算子、ε算子对α算子以及α算子对ε算子分配律成立的条件.

σ算子; α算子; ε算子; 分配律; 结合律

1 引言与预备知识

设X是非空集合, 称映射A： X→[0, 1]为论域X上的模糊集. 模糊集中的算子σ、α、ε是解模糊关系方程的非常重要的工具, 其中α算子最早被用来研究格中问题. 在文献[1]中Birkhoff G得到很多关于格的理论, 后来E. Sanchez用它研究模糊关系方程Q⊙S=T的最大解以及模糊关系的分解问题[2]. ε算子是α算子的对偶算子, 主要用于解对偶的模糊关系方程. 而算子σ在求方程A⊙R=B的最小解以及在模糊关系的分解中也起到非常重要的作用[3]. 本文详细地讨论了它们的结合律及分配律.

2 主要结果

以下讨论全在[0, 1]区间进行, 先讨论结合律.

定理1 (1)当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aσb) σc=aσ( bσc)：

(i) a≥b≥c, (ii) a≤b≤c, (iii) a≥c≥b, (iv) a＜c≤b, (v) b≤a≤c;

当b＞a≥c时, 有(aσb) σc＜aσ( bσc).

(2)当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aαb) αc=aα( bαc)：

(i) a≥b＞c,(ii) a＞b≥c,(iii) a≥c＞b, (iv) a＞c≥b,(v) b≥a＞c, (vi) c≥a＞b;

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aαb) αc＜aα( bαc)：

(i) b＞a=c, (ii) c≥b≥a, (iii) b≥c≥a.

(3)当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aεb) εc=aε( bεc)：

(i) b＞a≥c, (ii) a≤c≤b(a、b、c不同时相等), (iii) a≤b≤c(a、b、c不同时相等), (iv) b≤a＜c;

当a、b、c满足下例条件之一时, 有(aεb) εc＞aε( bεc)：

(i) a≥b≥c,(ii) a≥c≥b.

当a≥b≥c时, (aσb) σc=bσc=c , aσ( bσc)=aσc=c , 故(aσb) σc=aσ( bσc), 故等式成立, 其余证明同理;

当b＞a≥c时, (aσb) σc=0σc=0, aσ( bσc)=aσc=c, 故不等式成立, 其余证明同理.

以……