李 暾，陈政清，李寿英

(1.湖南大学 风工程试验研究中心，长沙 410082;2.广西工学院 土木建筑工程系，柳州 545006)

斜拉索在风和雨的共同作用下发生的风雨激振［1］，是目前已知的拉索振动类型中振幅最大、危害最严重的一种。各国学者通过现场实测［2－5］、风洞试验［6－7］以及建立各种理论模型［8－11］，对拉索风雨激振的发生机理和振动特性进行了研究。一般认为，拉索表面上水线的形成并在拉索表面的摆动，是造成拉索发生风雨激振的原因。Matsumoto［12］和 Liu［13］则认为由于水线在拉索表面形成的位置不唯一，造成沿拉索轴向卡尔曼涡脱落的频率和强度不同，从而激发拉索的高风速涡致振动。

通过现场实测和风洞试验，证实了拉索表面运动水线的存在。在现场实测中，还观测到了拉索的面内和面外振动，同时伴随着拉索模态的耦合。在风洞试验中，由于试验条件限制，无法重现该现象。

现有的拉索风雨激振理论模型中，节段拉索模型［8］只能考虑拉索的某阶固有频率，不能反映振动过程中的模态耦合现象;准运动水线连续拉索模型［9－10］假设水线在拉索上整段或在部分区段形成，并以拉索的某阶固有频率在拉索表面做同步运动，与实际的风雨激振现象差别较大，从计算的结果来看，该类模型反映不了拉索振动的模态耦合现象;文献［11］建立的运动水线连续弹性拉索风雨激振模型反映了拉索与水线的耦合运动以及拉索的模态耦合现象，但该模型只考虑了拉索的面内振动，且直接用空间差分法进行求解，不利于对拉索的各阶模态在振动过程中的参与情况做进一步地分析。

本文假设水线与拉索表面间作用着库仑阻尼力和粘滞线性阻尼力［14］，同时考虑拉索的面内和面外振动，建立了运动水线连续弹性拉索风雨激振理论模型，通过振型分解，得到以拉索各阶模态表示的拉索运动方程，并通过算例做进一步的分析。

1 连续弹性拉索振动模型

连续弹性拉索的空间姿态如图1所示，其中 α为拉索的倾角;β为风向角;x轴为拉索的轴线方向;xoy平面与地面垂直，y轴方向为拉索面内振动方向;z轴方向为拉索面外振动方向;U0为来流风速。此外，作如下假定:

① 考虑拉索轴向拉伸刚度和弯曲刚度的影响，忽略扭转刚度及剪切刚度的影响;

② 拉索的应力－应变关系服从虎克定律;

③ 拉索为张紧的小垂度拉索，其静止时的线形近似为抛物线;

④ 拉索的质量均匀分布;

⑤ 沿拉索轴向的运动忽略不计。

文献［15］建立了拉索面内振动的空间拉索风雨激振理论模型，并利用振型分解，得到了以拉索振型坐标表示的拉索运动微分方程。在此，利用相同的方法，可得到以拉索振型坐标表示的同时考虑拉索面内振动和面外振动的风雨激振运动微分方程:

图1 拉索空间姿态Fig.1 Position of cable

其中:

式(1)～式(20)中:v，w分别为拉索面内和面外振动的动位移;qv，i为拉索面内振动第 i阶模态广义位移;qw，j为拉索面外振动第j阶模态广义位移;E为弹性模量;I为惯性矩;T0和τ分别为拉索的轴向静态和动态张力;Mc为单位长度拉索的质量;Cy、Cz分别为拉索面内和面外振动的阻尼系数;Fy、Fz为拉索受到的外荷载(在此为气动力)在y方向和z方向的分量;t为时间;A为拉索截面面积;λ 为 Irvine 参数;ζv，n、ζw，k分别为拉索面内振动第 n 阶和面外振动第 k 阶模态阻尼比;ωv，n、ωw，k分别为拉索在考虑非线性情况下面内第n阶和面外第k阶自振频率;ωv0，n、ωw0，k分别为拉索在不考虑 Irvine 参数及各模态之间相互影响时的面内第n阶和面外第k阶自振频率;ηvs，n、ηws，k分别为拉索抗弯刚度对面内第 n阶和面外第k阶自振频率的影响系数;ηvλ，n为Irvine参数对拉索面内第 n 阶自振频率的影响系数;ηv，n、ηw，k分别为其余模态对面内第n阶和面外第k阶自振频率的影响系数;χv，n为拉索面内振动非线性方程中第n阶模态平方项系数;ϑv，n、ϑw，k分别为拉索振动非线性方程中面内第n阶和面外第k阶模态立方项系数;pv，n为其余模态对拉索面内振动第n阶模态的耦合项系数;考虑拉索面内振动前N阶和面外振动前K阶模态的影响。

2 作用在拉索上的外荷载

取如图2所示的节段拉索模型进行研究，并作以下基本假定:

① 水线在运动过程中外形和大小保持不变;

② 准定常假设成立;

③ 水线与拉索表面间存在粘滞线性阻尼力和库仑阻尼力［14］;

④ 同时考虑拉索的面内振动和面外振动;

⑤ 仅考虑上水线的影响。

图2 节段拉索模型Fig.2 Theoretical model of rigid segment of cable

由此，拉索气动力Fy和Fz的表达式为:

其中:

式中:ρ为空气密度;D为拉索直径;CL、CD分别为拉索的气动升力系数和气动阻力系数，其大小与ψ有关;θ0为水线的初始位置;θ为水线角位移。

3 水线运动偏微分方程

由图2，可以写出水线沿拉索表面做周向运动的偏微分方程:

其中:m为单位长度水线的质量;R为拉索的半径;F0为库仑阻尼力;cr为水线与拉索表面间的粘滞阻尼系数;g为重力加速度;sgn(·)为符号函数;fτ为水线气动力沿拉索表面切向的分量，其大小为:

其中:B为水线断面特征尺寸;cl、cd分别为水线气动升力和气动阻力系数，其大小与ψ有关。

4 算例

以洞庭湖大桥的S19拉索为例进行分析。S19拉索长182.04 m，单位长度质量为56.5kg/m，截面积为0.0072 m2，设计索力为3504 kN，拉索面内和面外的阻尼系数均为0.5 N·s/m，弹性模量为1.95×105MPa，惯性矩为 4 ×10－6m4，拉索倾角为 30°，风向角为35°。由于水线的实际形状十分复杂，在理论计算中一般假设其截面为圆弧形，在此采用文献［6］中粘贴固定人工水线节段拉索模型三维测压时的小水线数据，即:单位长度水线质量为0.01kg，截面圆弧直径为13.5mm，弦长9mm，高1.7mm。粘滞阻尼系数为0.0008 N·s/m2，库仑阻尼力为 0.0627 N/m［14］。水线在拉索表面的初始位置θ0=1弧度，初始速度为零。风速随高度变化的规律符合指数率，既Uh/Ud=(zh/zd)μ，其中zd和Ud分别为桥面距离水面的高度和桥面处的风速，zd=25 m;Uh为距离水面高度为h处的风速;μ为无量纲幂指数。洞庭湖大桥处于开阔的水面，取Ⅰ类地貌，μ=0.12;空气密度为1.225kg/m3。拉索及水线的气动力系数取自文献［6］。

4.1 拉索振动模态分析

将拉索和水线的数据带入拉索振动方程与水线运动方程，采用龙格－库塔法进行求解，计算过程中，拉索面内和面外振动的模态分别保留前12阶。得到拉索面内、面外振动的各阶模态广义位移后，将其带入式(3)和式(4)，可以得到拉索各个截面的运动时程。

计算中，Ud从 7.1 m/s开始，每增加0.05 m/s作为一个工况进行求解，每个工况计算过程中风速保持不变，得到了在各个风速下拉索的振动时程。限于篇幅，图 3 ～ 图 5 只给出了 Ud为 8.2 m/s、8.25 m/s和9.35 m/s时拉索面内和面外各阶模态的广义位移时程，以及拉索沿轴线方向上x/L分别为1/6、1/4、1/3和1/2截面处的面内和面外振动时程。

从计算的结果可以看出，在风雨激振发生的过程中，拉索面内和面外的多个模态参与了振动。在开始阶段，参振模态较多;随着时间的推移，拉索的模态逐渐转移，最后稳定在某几个(一般有1～3个)模态上。由于在振动过程中参振模态的改变，不同风速、不同时刻拉索发生最大振幅的位置并不固定。比如当Ud=8.2 m/s时，在前20000 s，拉索的面内和面外都有5个参振模态所占比重相当，因此拉索各截面的振幅基本相当;在20000 s之后，拉索面内和面外的参振模态都逐渐转移到了第2阶和第3阶，因此拉索在x/L=1/6和1/4截面处的振幅最大，拉索中点处的振幅最小。Ud=8.25 m/s时，前10000 s各阶模态所占成分相当，拉索各截面的振幅大致相同;大约16000 s时，面内和面外第2阶模态占主要成分，x/L=1/4处的振幅最大;20000 s后，面内和面外的第3和第4阶模态占优，拉索的最大振幅处转移到了 x/L=1/6处。Ud=9.35 m/s时，开始阶段虽然面内和面外的第7阶模态参与振动，但在7000 s之后面内和面外第7阶模态逐渐退出，参与振动的只剩下面内和面外第3阶模态，拉索振幅最大的截面为x/L=1/6和1/2处，x/L=1/3处的振幅几乎为0。

从图3～图5还可以看出，在各个风速下，拉索面内和面外的第9、10、11、12阶这些高阶模态在参振模态中所占比重很小，几乎不参与振动;而面内和面外的第1阶模态尽管参与了振动，但与主要参振模态相比，其成分还是少了许多。

从以上的计算结果还可以发现，无论在哪个风速下，拉索面内和面外振动的参振模态和模态转移的时刻都是相同的，面内和面外振动相对应阶数的模态广义位移时程的形状也是基本一样的，区别只是其大小不同。由此，拉索各截面的面内和面外振动的位移时程形状基本相同，只是振幅的大小不一样。图6是现场实测［3］的拉索风雨激振时拉索面内和面外振动加速度响应时程，映证了本文计算得到的结论。为叙述方便，在后文中如不特别指明，提到拉索的某阶模态同时指面内和面外的模态。

图6 洞庭湖大桥拉索加速度响应时程Fig.6 Time history of acceleration response of Dongting Lake Bridge cable

此外，图7给出了拉索面内和面外各阶模态在5000 s时和振动稳定阶段的广义位移峰－峰值随风速变化的曲线，比较全面的反映了不同风速下风雨激振过程中拉索各阶模态的变化情况。从图中可以看出，在振动开始的阶段，参与振动的拉索模态比较多，很难分辨出特别占优势的控制模态;随着振动的进行，拉索振动的模态发生了变化，某几个(一般是1～3个)模态逐渐占据了主导优势，成为主要控制模态，此时拉索发生稳定的大幅振动。综合来看，在整个风速范围内和振动过程中，主要是拉索的第2～8阶模态参与振动，第1阶模态所占比重不大(即很难激起第1阶模态的振动)，第9及更高阶的模态几乎不参与振动。

根据对洞庭湖大桥A10、A12和S19拉索风雨激振的现场实测，Ni［3］认为:风雨激振时，拉索只发生单模态振动的情形是很少的，多数情况下是几个模态共同参与振动。陈政清［2，16］认为:拉索稳定的大幅振动总是由某一阶模态控制，通常是第 2、3、4 阶。Zuo［4－5］实测到的拉索风雨激振参振模态主要是第2～6阶。算例分析得到的结论与现场实测的结果是吻合的。

在算例分析中，假设在0时刻拉索和水线处于静止状态，且水线已经在拉索表面θ0=1弧度的位置形成，此时拉索各断面的气动力系数是相同的，因此在振动初始阶段，拉索的各阶模态都参与了振动。由于拉索的振动与水线的运动是相互耦合的，因此随着时间的推移，拉索的振动与水线的运动趋于同步［13］，拉索的参振模态逐渐转到某几阶主要振型上。文献［15］对拉索风雨激振面内振动进行了分析，指出拉索在振动稳定阶段的主要参振模态与风速的大小和风速剖面有很大的关系。本文建立的理论模型同时考虑了拉索的面内和面外振动，对拉索的约束条件比文献［15］的少，相当于增大了拉索的柔度，更接近实际的拉索，因此分析得到的拉索主要参振模态更接近真实的情况。实际发生风雨激振时，拉索的参振模态会由于风速和风向角的改变而发生转化，虽然在理论分析时不能完全模拟实际的风场，但通过对不同风速下的拉索振动进行分析，能够看出风速对拉索参振模态有较大的影响。

4.2 拉索面内－面外振动的轨迹

图8～图10分别给出了不同风速下某一时段内拉索某一截面在垂直于x轴的平面内的运动轨迹。可以看出，其运动轨迹基本形状为斜置的椭圆，椭圆的个数与该时段内拉索主要控制模态的个数有关。Ud=8.2 m/s，t=29900 s时，拉索的主要控制模态是第2和第3阶，因此拉索4个截面的运动轨迹为2个斜置的椭圆。Ud=8.25 m/s，t=25000 s时，拉索的振动主要由第 2、3、4阶模态控制，拉索4个截面的运动轨迹为3个斜置椭圆交织在一起。Ud=9.35 m/s，t=9000 s时，拉索振动的主要模态是第3阶，为单模态振动，因此拉索截面的运动轨迹是1个斜置的椭圆;对于纯3阶模态的拉索振动，在x/L=1/3处的位移为0，从图10可以看出，在该位置处的运动轨迹几乎为一个点。如果参振的拉索模态个数较多，则拉索截面的运动轨迹会比较乱，但其振动的主要方向是基本一致的，限于篇幅，这里没有给出。

图11是在洞庭湖大桥实测拉索风雨激振［3］时记录的3条拉索在x/L=1/6处3 s时程(由于现场的干扰因素较多，时程太长，则运动轨迹会比较杂乱，不易于分辨其特征)的运动轨迹，其中:图11(a)是2003年4月1日18:40开始800～803 s的运动轨迹，此时拉索的振动主要由第1阶模态控制;图11(b)是2003年4月1日20:10开始1200～1203 s的运动轨迹，此时拉索的振动主要由第1、2阶模态控制;图11(c)是2003年4月1日22:20开始440～443 s的运动轨迹，此时拉索的振动主要由第1、2、3阶模态控制。可以看出，理论计算得到的规律与现场实测的结果是比较一致的。

4.3 拉索振动的偏振角

拉索发生风雨激振时，同时伴随着面内振动和面外振动，从拉索的某个截断面来看，其振动的主轴方向与拉索振动的面内方向(y轴方向)或面外方向(z轴方向)有一个夹角，这里定义振动的主轴方向与拉索面外振动方向(z轴方向)的夹角φ为振动的偏振角，如图12所示。

图12 拉索振动偏振角Fig.12 Inclination angle of cable vibration

图13分别给出了在t=5000 s时和振动稳定阶段拉索x/L=1/6、1/4、1/3和1/2截面处振动的偏振角随风速变化的曲线。从图中可以看出，同一风速下拉索不同截面振动的偏振角基本是一致的，即在同一风速下，整根拉索基本上是朝同一方向振动。通过图13中t=5000 s时和振动稳定阶段拉索振动偏振角的对比，再结合图3～图5，可以发现，在某一风速下，尽管在不同时刻拉索振动的模态和振幅是变化的，但拉索振动的偏振角几乎不随时间变化。在不同的风速下，水线在拉索表面振动时的平衡位置不同，使得拉索在水平方向和竖直方向的气动力系数不同，因而影响了拉索振动偏振角的大小。图13显示，在7.7～8.7 m/s的风速范围内φ＜45°，即拉索的面内振动小于面外振动，风速范围占整个拉索振动风速范围的40%;在其余风速下φ＞45°，即拉索的面内振动大于面外振动，占整个拉索振动风速范围的60%。即使是在7.7～8.7 m/s的风速范围内，大部分工况下拉索振动的偏振角一般也在40°～45°之间，即拉索的面内振动与面外振动差不多，仅在个别工况下拉索中点处的偏振角在35°左右。因此可以认为:风雨激振发生时，在大部分风速范围内，拉索的面内振动大于面外振动，而且相对于面外振动，面内振动占有较大的优势;在小部分风速范围内，拉索的面内振动与面外振动差不多，相比面内振动，面外振动不占绝对优势。

图13 拉索振动偏振角随风速的变化Fig.13 Variations of cable's inclination angle with different wind velocities

通过对洞庭湖大桥拉索风雨激振的实测记录分析，得到的结论是:拉索振动时，面内、外振动同时发生，但面内振动总是大于面外振动［2］。理论分析的结论在风速较大和较小时与实际情况吻合较好，在中间风速段拉索面内振动与面外振动基本相当，这可能与算例中假设拉索面内和面外振动的阻尼大小是相同的有关，同时考虑到算例中没有采用实测时的实际风速和风向角，可以认为以上得到的规律与现场实测的结论是基本吻合的。由于影响拉索振动偏振角的因素十分复杂，还需要开展大量的工作对其进行分析研究。

4.4 不同风速下的拉索振幅

图14分别给出了t=5000 s时和振动稳定阶段拉索x/L=1/6、1/4、1/3和1/2截面处位移峰－峰值随风速的变化曲线。同时参考图7和图14，可以看出:由于在不同的风速下，拉索参振的模态及各模态所占的比重不同，使得拉索不同截面振动的峰－峰值随着风速不断的起伏变化，在整个起振风速范围内有几个极值点，而且各截面振动的峰－峰值随风速变化的趋势并不相同。

图14 拉索节点位移峰－峰值随风速的变化Fig.14 Variations of peak-peak displacements of cable nodes with different wind velocities

对比图14中t=5000 s和振动稳定阶段的拉索各截面位移峰－峰值，可以发现前者随风速的变化比较平缓，而且4条曲线的纵坐标值相差不是很大;而后者随风速的变化比较剧烈，4条曲线的纵坐标值相差比较大。同时对比图7可以看出，由于在t=5000 s时，不同风速下参振的拉索模态数较多，而且各参振模态所占比重相当，使得拉索各截面的位移峰－峰值相差不大，且随风速的变化相对平缓;随着振动的发展而伴随的拉索参振模态的转移，到达振动稳定阶段，拉索的参振模态稳定在少数几个主要控制模态上(一般情况下是2～3个，个别风速下是单模态振动)，而且不同的风速下的主要控制模态并不相同，使得拉索不同位置处的位移峰－峰值相差比较明显，且随风速的变化比较剧烈。拉索最大振幅发生在Ud=8.3 m/s风速下，x/L=1/6处的位移峰－峰值达到了0.27 m，约为拉索直径的3倍。

通过对每隔0.05 m/s的风速逐一计算，得到S19拉索的起振风速范围是7.2～9.7 m/s，而在对洞庭湖大桥拉索风雨激振的实测时记录的风速范围是6～20 m/s［2］，计算的风速范围在实测记录的风速范围内。图14同时反映了“限速”、“限幅”的风雨激振特征。

5 结论

在假设拉索表面与水线之间作用着库仑阻尼力和粘滞线性阻尼力的基础上，建立了能够反映拉索面内－面外振动的带运动水线的连续弹性拉索风雨激振理论模型。利用该模型对洞庭湖大桥S19拉索进行计算，得到了在不同风速下拉索各阶模态的广义位移响应，在此基础上得到了拉索上某个指定截面的位移响应、运动轨迹和振动偏振角。通过对计算结果的分析，得到以下规律:

(1)拉索发生风雨激振时，通常有多个模态共同参与，表现为多模态的耦合振动;

(2)在振动过程中会发生模态的转移，当振动稳定在2～3个主要控制模态(少数情况下是单模态振动)时，拉索发生稳定的大幅振动;

(3)风雨激振发生时，拉索同时发生面内和面外振动，在同一风速下，对应的面内和面外振动模态广义位移响应以及相应的拉索面内和面外振动的位移响应时程曲线形状基本是一样的，区别只在于其值大小不同;

(4)拉索截面的运动轨迹基本形状为斜置的椭圆，一般情况下是几个斜置椭圆交织在一起，斜置椭圆的个数与拉索参振模态的个数相同;

(5)在同一风速下，整根拉索基本上是朝同一偏振角方向振动，而且在整个振动时段内，拉索振动的偏振角几乎没有变化;

(6)起振风速对拉索振动偏振角的影响较大，在大部分起振风速范围内，面内振动大于面外振动，在其余风速范围内，面内振动与面外振动的振幅相差不大;

(7)拉索发生最大振幅的位置随参振的主要控制模态不同而变化，拉索不同截面的位移峰－峰值随风速变化的曲线呈现几个极值点，且变化趋势不相同。

通过与现场实测的观测记录进行对比，本文计算分析得到的规律与现场实测总结的拉索风雨激振特征基本吻合。本文建立的理论模型够比较真实的反映实际的拉索风雨激振现象，建立理论模型时所作的假设是基本合理的。

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