冯海辉

(上海海事大学 文理学院，上海 201306)

0 引言

在有限群论的研究中，幂零群是一类重要的可解群.因此，刻画有限群的幂零性成为一个研究重点，许多学者［1－3］已经从各个不同的角度对其进行研究.特征标理论是研究有限群的一个重要工具，如文献［4］利用特征标理论给出一个群是幂零群的充分性条件:N－群是幂零群.为了研究特征标理论中的一个基本问题——一个拟本原特征标三元组在什么条件下也是一个本原特征标三元组，文献［5］借助χ－幂零群的概念给出完整的回答.有限群的χ－幂零性仅仅是某种局部的幂零性，它与群的幂零性之间有一种内在的联系，因此可以从特征标这个角度给出有限群幂零性的完整刻画.本文引入c－幂零群的概念，并且利用这个概念给出一个有限群为幂零群的充要条件.

文中的群均为有限群，所使用的符号和术语都是标准的，可参考文献［6－7］.

1 引理

1.1 χ-幂零群的定义

定义1设G为一个群，ψ为G的一个复特征标.称G为ψ－幂零群，是指对G的每个极大子群M及M的每个复特征标 φ，如果满足 φG=ψ，则有M◁G.［2］

由于幂零群的每个极大子群均正规，当G为幂零群时，对每个χ∈Irr(G)，G均为χ－幂零群.

1.2 c－幂零群的定义

定义2设G为一个群，若对每个不可约特征标 χ∈Irr(G)，G 均为 χ－幂零群，则称 G 为 c－幂零群或特征标幂零群.

显然，由前面的讨论知道幂零群一定是c－幂零群，但是反过来不一定正确，即c－幂零群不一定是幂零群.

例如:取 G=S3，Irr(G)={λ1，λ2，χ}，其中 λ1，λ2为线性特征标，χ为2次不可约特征标.显然G是λi－幂零的，i=1，2.下面说……