岳凯

本文介绍“直线分饼”问题，探讨该问题更深层次的意义。

一、提出问题

“一个圆饼，切1刀最多可将其分成2份；切2刀,最多可将其分成4份；切3刀,最多可将其分成7份。经过6次这样的切割，最多可将其分成多少份？”这个有趣的问题就是“直线分饼”问题。笔者在一本书上，看到给出的答案如下。

认真数一数，可知切6刀最多可将其分成22份。然而，随着所切刀数的增加，问题的情形变得越来越复杂，使我们难以逐刀去数，显然用作图的方法求解已不现实。怎么办？

二、探究规律

将该问题转化为数学问题就是：一个平面最多可被n条直线分成多少部分?认为0条直线可将平面分成1部分，易知1条、2条、3条、4条、5条直线最多可将一个平面分成2、4、7、11、16部分。

直线条数0 1 2 345…n

最多分割数1 2 4 7 1116 an

观察上面数据，可发现如下规律：1+1=2、2+2=4、3+4=7、4+7=11、5+11=16，故6+16=22. 即一个平面最多可被6条直线分成22部分。依此规律，不作图，易知用7条直线、8条直线……分割平面时的最多分割数。然而，因为每一个结果都要用到上一个结果，若用100条，甚至更多条直线分割平面时，利用该规律时不免过于烦琐。怎么办？

三、猜想公式

由上面数据可知： a1-a0=1、a2-a1=2、a3-a2=3…… an-an-1=n。等号两边分别相加可得：an-1=1+2+3+ ……n，an-1=，∴an=+1。该公式只是根据规律用不完全归纳法猜想出来的,到底对不对？

四、证明公式

一条直线把平面分成两部分；对平面中的两条直线而言，当它们交于一点时把平面分成四部分，而当它们平行或重合时则分别把平面分成三部分或两部分。所以，在研究ｎ条直线分割平面时，只有当它们处于最一般位置时，才能取得最大的分割数。