韦政雄

在解有关规律性的问题时，我们有时发现在一列数据中，两个相邻的数求差后，再对相邻新数求差，这时它们为同一常数.在这里称之为连续两次作差为同一常数.遇到此类问题，关键是求规律中的表达式，那怎么求呢？本文就该问题进行研究和探讨，希望能对同学们的学习有所帮助.

例1：观察下图，解答问题.

（1）上图画出了三到六边形的对角线，观察后将下表填写完整.

（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的对角线条数.

分析与解:

解法1：（1）易知，六边形的对角线条数为9.通过作图也易知七边形的对角线条数为14，那么n边形呢？

现将多边形边数与对角线条数提取进行分析：

边数 对角线条数分析及梯形面积公式法表达式

观察上表发现，将相邻对角线条数两数作差，再对作差后的相邻新数作差，它们的结果都为常数1.当设多边形的边数为n，对角线条数写成和的形式时，第一个数是2，最后一个数是1×n-2，共有（n-3）项，用梯形面积公式法求得n边形对角线条数为：

×（n-3）=（n-3）

（2）由n边形内角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.

∴这个多边形的对角线条数为：×（8-3）=20（条）.

解法2：（只对n边形的对角线条数进行探究）

现先对二次函数的性质进行研究.对于二次函数y=x+2x+2，有下表成立：

对y相邻的数求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…

对相邻新数再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…

发现的值连续两次作差为同一常数，再对其他的二次函数研究也有这样的结论，因此可以得出二次函数存在这样一个性质：二次函数的函数值连续两次作差为同一常数；……