肖 峻，杨洪平

(电子科技大学光电信息学院，四川成都 610054)

在“电磁场与电磁波”课程中，麦克斯韦方程组是电磁场的基本方程，描述了宏观电磁现象的普遍规律。但是，对于具体的电磁问题，基本方程还需要结合定解条件才能给出问题的解。如果对定解条件的要求不当，有可能因为条件太苛刻而无解，也有可能因为条件太宽松出现多个不确定的解。给出恰当的定解条件以便麦克斯韦方程组有解且唯一这对麦克斯韦方程组的成功应用是至关重要的。

亥姆霍兹定理给出了确定任一矢量场的唯一性条件，是分析矢量场的基础。电磁场作为一种特定的矢量场理应遵循矢量场的普遍规律。本文以亥姆霍兹定理为指导，可给出了电磁场基本方程的组成，再结合时变电磁场和静态电磁场的特性给出电磁场基本方程的定解条件。所得结论为各种电磁场问题求解方法提供了依据，也为解的正确性提供了判据，对于处理各种电磁问题具有非常重要的指导意义。

1 矢量场的边值问题

图1所示的亥姆霍兹定理，给出了确定任一矢量场的唯一性条件［1］:在闭合面S限定的区域V内，任一矢量场由在区域V内矢量场的散度和旋度以及闭合面S上矢量场的分布唯一地确定。而且，任一矢量场可表示为

在式(2)和式(3)中，r为场点位置矢量，r'为源点位置矢量，en为闭合面S上的外法向单位矢量。

图1 亥姆霍兹定理示意图

在式(1)中的第一项为无旋度的矢量场，第二项为无散度的矢量场。即任一矢量场可表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加。

矢量场的散度和旋度各对应矢量场的一种源，式(2)和式(3)中的体积分项由V内的两种体分布的场源(散度源和旋度源)确定。而式(2)和式(3)中的面积分项由S上的两种面分布的场源(标量源和矢量源)或者由V外的场源对V内矢量场的作用的等效面分布场源确定。

对于无界空间，式(2)和式(3)中两面积分项为零。无旋度的矢量场是由标量源产生，而无散度的矢量场是由矢量源产生。无旋度且无散度的矢量场只能存在于局部的无源区域之中，完全由边界S上的场分布确定。

由亥姆霍兹定理可知:在有界空间内任一矢量场F(r)的定解可表示为边值问题:

式中，g和K为V内分布的散度源和旋度源，gS和KS为S上分布的标量源和矢量源。式(4)中前两方程为矢量场的基本方程(泛定方程)，后两方程为基本方程的定解条件。

在无界空间，当场源分布在有限空间，不存在边界源，矢量场F(r)的定解问题表示为

可见，矢量场的散度方程和旋度方程组成了确定矢量场分布的基本方程(微分形式)，是分析矢量场性质的出发点。利用场论中的高斯定理和斯托克斯定理，由这微分形式的基本方程可以导出积分形式的基本方程。

2 时变电磁场的定解问题

对于时变电磁场，电场与磁场这两种矢量场相互耦合，构成统一的电磁场。根据亥姆霍兹定理可知，电磁场的基本方程由电场量E(r，t)的散度方程和旋度方程，磁场量H(r，t)的散度方程和旋度方程构成。微分形式麦克斯韦方程组正是给出了这四个方程。在均匀、线性和各向同性媒质空间，限定形式的麦克斯韦方程组为

式中，ε和μ为媒质的介电常数和磁导率，ρ(r，t)和J(r，t)为自由电荷密度和传导电流密度。

上式是确定电磁场时空分布的基本方程。然而，由于时变电场与时变磁场的相互耦合，上式中四个方程并非完全独立。由上式中两旋度方程结合电流连续方程，可导出上式中的两散度方程［2］。

在有界空间，式(6)的定解条件包括初始条件和边界条件。

初始条件为

同样，由于电场与磁场的相互耦合，这四个边界条件不独立。分析式(6)中两旋度方程可知，在电场的三个正交分量和磁场的三个正交分量中，只有两个分量是独立的。只须任意给定其中两个分量的分布，其他四个分量完全由这两个分量确定，波导系统中采用的纵向场分析法正是基于这一特性［3］。因此，只须给定边界S上含有两个分量的电场切向分量Et(r，t)或者磁场切向分量Ht(r，t)即可定解。这样，上式的边界条件可减弱为

满足式(8)的解会自然满足边界上电场和磁场的法向分量的边界条件。

综上所述，当给定V内 ρ(r，t)、J(r，t)、E0(r)，H0(r)和S上的 Et(r，t)或 Ht(r，t)，V内式(6)的解E(r，t)和H(r，t)是唯一的。这一结论正是时变电磁场唯一性定理所述的内容，其严格证明可参见文献［4］。式(6)、式(7)和式(9)构成了时变电磁场的定解问题。

3 静态电磁场的定解问题

静态电磁场可视为时变电磁场的特例。对于静态电场和恒定磁场，由于式(6)中场量(电场量和磁场量)以及源量(自由电荷密度和传导电流密度)都不随时间变化，定解问题中自然不存在初始条件，而且式(6)可分离为电场与磁场独立的基本方程组。同样，根据按亥姆霍兹定理，可得知静电场与恒定磁场的边值问题为

利用静电场的无旋性可知，由任意给定电场的一个分量的分布可确定其他两个分量，式(9)中的边界条件只须给定电场的法向分量即可，因此，静电场的定解问题可表示为

另一方面，直接由亥姆霍兹定理的式(2)也可得知无旋度的静电场的定解问题为上式。

利用恒定磁场的无散性可知，由任意给定磁场的两个分量的分布可确定其他一个分量，式(10)边界条件中，只须给定磁场的切向分量即可。因此，恒定磁场的定解问题可表示为

直接由亥姆霍兹定理中的式(3)也可得知无散度的恒定磁场的定解问题为上式。

4 结语

亥姆霍兹定理是分析矢量场的基础，由亥姆霍兹定理可得知矢量场的散度方程和旋度方程是分析矢量场的基本方程。对于电磁场这一特殊的矢量场，其基本方程仍然是按亥姆霍兹定理要求组成，但是，由于时变电磁场和静态电磁场的特性，其边界条件较亥姆霍兹定理所要求的边界条件有所减弱。

对于时变电磁场，由于电场与磁场的相互耦合，边界条件只须给定电场的切向分量或者磁场的切向分量。对于静电场，由于其无旋性，边界条件只须给定电场的法向分量。对于恒定磁场，由于其无散性，边界条件只须给定磁场的切向分量。本文所得这些结论，对求解电磁场的各种边值问题具有重要的指导意义。

［1］毛均杰，何建国.电磁场理论［M］.长沙:国防科技大学出版社，1998:24-27

［2］俎栋林.电动力学［M］.北京:清华大学出版社，2006:112-117

［3］杨儒贵.电磁场与电磁波［M］.北京:高等教育出版社，2003:228-231

［4］谢处方、饶克谨、杨显清.电磁场与电磁波［M］.第四版.北京:高等教育出版社，20