王慧勤

(宝鸡文理学院 数学系, 陕西 宝鸡 721013)

0 引言

对线性方程组Ax=b的求解，主要有直接法求解和迭代法求解.直接法很难克服存储问题.而在求解线性方程组的许多实际问题中，尤其在偏微分方程的差分方法与有限元方法求解问题之中，方程具有重要的特征，一是多为大型稀疏矩阵；二是满足一些条件如对称正定、对角占优等，这使迭代法得到广泛的应用.另外，与直接法相比，迭代法还具有一些明显的优点，比如占用计算机的内存单元少、计算程序比较简单、收敛速度比较快等.近年来都是对线性方程组进行预处理，以加速迭代法的收敛性，那么如何使用预处理以及如何加速收敛速度成为人们关注[1-3]的问题.

1 预备知识

在用预条件迭代法求解大型线性方程组Ax=b时，对线性方程组两边分别乘非奇异矩阵P，转化为

PAx=Pb

(1)

其中A=(aij)n×n∈Rn×n，x,b∈Rn.本文运用预处理因子P=(I+S)以及矩阵分析和矩阵理论，给出预处理后含参数的分裂形式，使得预处理后的系数矩阵分裂更加一般化，讨论得到能加速超松弛迭代法(SOR迭代法)的收敛性，而且优于一般的预处理方法.其中，I为单位矩阵，S为如下形式的方阵

(2)

an1是系数矩阵A=(aij)n×n对应位置上的元素.通常设矩阵A=I-L-U,I为单位矩阵，L为和U分别是严格下三角矩阵和严格上三角矩阵.那么求解方程组Ax=b的SOR迭代法的迭代矩阵为

T=(I-γL)-1[(1-γ)I+γU]

(3)

在预处理因子P=(I+S)作用后，方程组PAx=Pb的系数矩阵记为AS，则

AS=PA=(I+S)(I-L-U)

=(I-D1)-(L-S+L1)-U

其中，SL=0,SU=D1+L1;(I-D1),-(L-S+L1)和-U分别是矩阵AS的对角线部分、严格下三角部分和严格上三角部分.则预……