黄晓宇， 陈斯养

(陕西师范大学 数学与信息科学学院， 陕西 西安 710062)

0 引言

Zhang B G 和 Xu H X 在[1]中提出并研究了下列具时滞离散苍蝇模型

Nn+1-Nn=-δNn+pNn-ke-aNn-k,

n=0,1,2,…

(1)

正平衡态的全局吸引性，并得到了正平衡态N*作为全局吸引子的条件与结论,其中p,a为正常数，δ∈(0,1),k∈N={0, 1, 2,…}.

Gyori I 和 Trofimchuk S I 在[2]中讨论了下列差分方程

Xn+1-Xn=-αXn+qf(Xn-k),

n=0,1,2,…

(2)

的全局吸引性，并给出了全局吸引的充分条件.其中α,q为正常数，k∈N={0, 1, 2, …}.

Tkachenko和Trofimchuk在[3]中讨论了下列具多个时滞量的苍蝇模型

n=0,1,2,…

(3)

本文给出具有时滞及分段常数变量的苍蝇模型

t≥0

(4)

模型(4)满足初始条件

N(0)=N0>0,N(-j)=N-j≥0,

j=1,2,3,…,m

(5)

为了便于对模型(4)进行研究，对其进行适当的变形.(4)的等式两边同时乘以eat可得

=beatN([t-m])e-rNα([t-m])

(6)

当t∈[n,n+1),n=0,1,2,…时，将等式(6)两边在区间[n,t)上积分，整理可得

N(t)=N(n)ea(n-t)

(7)

令t→n+1，可得时滞差分方程模型

N(n+1)=e-aN(n)

(8)

本文讨论m=0,1,2时模型(8)正平衡态的局部渐近稳定性，并对Flip分支进行分析.

1 正平衡态的存在性及局部稳定性

(9)

将(9)在x=0处进行Taylor展开，可得其线性近似系统为

x(n+1)= e-ax(n)

(10)

由(10)得特征方程

(11)

由差分方程平衡态的稳定性定义知，当且仅当所有的特征根满足|λi|<1,i=1,2,3,…,m+1，正平衡态是局部渐近稳定的.

2 分支的存在性

由分支理论[4]可知，对应于特征值λ=-1的分支称为Flip分支，Flip分支只当m≥0时才有可能.这一节选取b作为分支参数来讨论模型(8)的Flip分支的存在性.

证明：对于特征方程(11)，令

3 分支的方向及其稳定性

若模型(8)存在Flip分支，则这一部分利用[4]中的限制规范化理论和中心流形的计算方法研究和讨论分支的方向及其稳定性.

现将(8)等价转化为m+1维差分方程组

(12)

为了研究(8)的分支方向及其稳定性，将(12)书写为如下形式

其中，A0为m+1维方阵，Q(x)=O(‖x‖2) 是光滑函数，在x=0处，Q(x)的Taylor展开为

其中E和F是多重……