金文力 胡嘉玥 杨一博

(北京大学附属中学 北京 100190)

1 问题提出

作为电磁感应中一个常见的物理模型，“双杆架导轨”问题一直是教师在教学过程中不能回避的问题.在各种刊物中经常能见到有关这种模型问题的讨论，总觉得意犹未尽.因此，在教学中笔者与两位学生将这一模型一般化后进行再讨论.

2 模型的建立及问题的解决

图1

如图1所示，有一足够长的水平放置的平行金属导轨间距为l1，其间有匀强磁场，磁感应强度为B1；与之相连的足够长水平放置的平行金属导轨间距为l2，导轨间有匀强磁场，磁感应强度为B2.将长为l1，质量为m1的金属棒AB垂直导轨放置于离ab左侧足够远的位置；将长为l2，质量为m2的金属棒CD垂直导轨放置在ab右侧轨道上.金属导轨光滑，导轨与金属杆构成闭合回路，回路电阻为R.当恒力F垂直杆作用在金属杆AB上，水平拉动金属杆.求两杆的速度及加速度.

解析：研究AB杆

(1)

研究CD杆

(2)

研究闭合回路

(3)

由式(1)、(2)、(3)可得

(4)

令

则

所以式(4)简化为

则

解得

(5)

(6)

经过足够长的时间后，即t→∞时

得

即电流为一定值.

讨论：(1)经过足够长时间后，两杆加速度关系

对AB杆

F-B1Il1=m1a1

(7)

对CD杆

B2Il2=m2a2

(8)

由式(7)、(8)可得

即加速度之比与质量无关.

(2)两杆的瞬时速度

对AB杆

将式(6)代入可得

(9)

由式(9)可得

当t=0时，v1=0 ，所以

所以杆AB的速度

对CD杆

将式(6)代入可得

(10)

由式(10)可得

当t=0时，v2=0 ，所以

所以杆CD的速度

(3)两杆的加速度

AB杆的速度v1对时间求导可得AB杆的瞬时加速度为

若时间t足够长，即t→∞时，AB杆与CD杆的加速度分别为

可见，AB杆与CD杆的加速度各自趋于一个稳……