罗声苗 肖炯

(赣县中学 江西 赣州 341100)

图1

【题目】(2011年高考新课标全国卷第34题)一半圆柱形透明物体横截面如图1所示，底面AOB镀银(图中粗线)，O表示半圆截面的圆心，一束光线在横截面内从M点入射，经过AB面反射后从N点射出.已知光线在M点的入射角为30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°.求：

(1)光线在M点的折射角；

(2)透明物体的折射率.

方法1:原解

图2

如图2，透明物体内部的光路为折线MPN，Q,M点相对于底面EF对称，Q,P和N三点共线.

设在M点处，光的入射角为i，折射角为r，∠OMQ=α，∠PNF=β.根据题意有

α=30°

(1)

由几何关系得，∠PNO=∠PQO=r，∠ONF=60°，

于是

β+r=60°

(2)

根据反射定律可以知道∠MPE=∠NPF,由几何关系容易得

α+r=β

(3)

由式(1)～(3)得

r=15°

(4)

根据折射率公式有

(5)

代入数据得

点评：笔者认为，原解所用到的数学知识本身并不是很难，但是作图的过程中所作的辅助线比较多，而且要把半圆的下半部分补充完整，这种情况在数学中见得比较多，在物理中应用得很少，所以,学生在考试的时候，不容易想到这种方法.

方法2：巧用几何关系EF=EO+OF=EP+PF求解

如图3，光线从M点的入射，经过AB面反射后从N点射出,透明物体内部的光路为折线MPN.过M，N点作垂线交底面AB于E，F.根据反射定律，可以知道，∠MPE=∠NPF=θ.由几何关系得

EF=EO+OF=EP+PF

(6)

图3

其中有

EO+OF=Rcos60°+Rcos30°

(7)

(8)

由式(6)～(8)得

θ=45°

(9)

入射角为i，折射角为r， ∠MOE=60°，根据三角形外角等于相临两内角和，即

θ+r=60°

(10)

由式(9)、(10)得折射角r=15°，再根据折射率公式有

点评：这种方法充分应用EF=EO+OF=EP+PF，结合反射定律，列出等式求出θ角的大小，再应用外角与内角和的关系求出r的大小.整个过程中所作的辅助线少，用到的都是最简单的数学知识，应该说达到了用简单知识解决复杂问题的要求……