葛力铢,李武明

(1.通化师范学院 数学系,吉林 通化 134002:2.吉林师范大学 数学学院,吉林 四平 136001)

1 预备知识

1.1 Minkowski平面的表述

Minkowski平面(亦称时空平面，简记为M平面)是带有Minkowski内积(简称M内积)的2维实线性空间，有多种表述方式.

例1 在双曲复平面H={x+jy|x,y∈R,j2=1,j∉R}上引入M内积：

(x1+jy1)·(x2+jy2)=x1x2+jy1(jy2)*=
x1x2+jy1j*y2=x1x2-y1y2,

则H平面成为Minkowski平面.

例2 在2维实线性空间R2={(x,y)|x,y∈R}上引入M内积

(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2-y1y2

则R2成为Minkowski平面.

例3 4维实Clifford代数Cl1，1的生成空间R1，1={xe1+ye2|x,y∈R},作为Cl1,1的2维子空间关于Cl1,1的内积：e1·e1=1,e2·e2=-1,e1·e2=e2·e1=0作为Minkowski平面.

本文由R1,1表述Minkowski平面.

1.2 定义与例子

定义1 设(G,+)为半群，(A,+,·)为半环.若存在映射：A×G→G,(r,g)|→rg使得∀g1,g2∈G,r1,r2∈A有

(1)r1(g1+g2)=r1g1+r1g2(g1+g2)r1=g1r1+g2r1,

(2)(r1+r2)g1=r1g1+r2g1,(r1r2)g1=r1(r2g1)

则称G为半环A上的半线性空间(简称半线性空间).

定义2 设(A，+，·)是半环，若半群(A，+)还是半环P上半线性空间，且∀a∈P,x,y∈A有a(xy)=(ax)y=x(ay),则A为半环P上半线性代数.

定义3 (序半群)设G为半群，是G的一个半序关系，使当ab(a,b∈G)时，对∀c∈G有caG有cacb与acbc成立，则称G为序半群，记为(G,).

定义4 (序半线性空间)设(G,)为序半群.若G还是半环A上半线性空间，使得ab时，对任意r∈A有rarb，则称(G,)为序半线性空间.

2 Minkowski平面的多序半群结构

2.1 定义与例子

定义5 (多序半群)设G是一个半群，i(i∈I)为G的半序关系，(G，i)i∈I称为多序半群.设J⊆I,则称(G，j)j∈J为多序半群(G,i)i∈I的限序半群.

例4J=I时，(G,j)j∈J=(G,i)i∈I;J=φ时，(G,i)i∈I的平凡限序半群.|J|=1时，存在i=1使得(G,j)j∈J=(G,i).

上例表明，半群与序半群均为多序半群的特殊情形.

定义6 (多序半线性空间)设(G，i)i∈I为多序半群，若G还是(半环R上)半线性空间，使得任取i∈I有(G,i)是序半线性空间，则称(G，)i∈I为多序半线性空间.

例5 类同与例4可知，半线性空间与序半线性空间均为多序半线性空间的特殊情形.

对于Minkowski平面R1，1={xe1+ye2|x,y∈R}，定义其未来类时区为

在R1，1中引入半序关系：ab⟺则(R1，1,)为序半线性空间.

定义7 (多序锥)设G为半群……