焦 佳，高 洋，周庆健

(大连民族学院理学院，辽宁大连 116605)

微分方程系统不可积性问题研究

焦 佳，高 洋，周庆健

(大连民族学院理学院，辽宁大连 116605)

研究了周期系统Laurent多项式型首次积分和有理首次积分的不存在性问题。利用Floquet理论，证明了如果系统的特征乘数是ℤ －非共振的，则系统在平衡点附近不存在Laurent多项式型首次积分。进一步，还在有理函数空间考虑了这一问题，并得到了相应的结果。

Floquet理论;Laurent多项式型首次积分;形式首次积分;有理首次积分

1 自治系统

在物理、力学、化学、生物、工程等领域的各种动态数学模型，往往归结为非线性微分方程。这些方程可分为两大类:可积的与不可积的。一般说来，随着时间的变化，可积系统总是呈现出有规律的可预测的行为;而在很多情况下，不可积系统在其相空间的某区域上的运动是无规律的和混沌的。长期以来，由于解方程的需要，可积性问题已变成数学和物理学家所关心的基本问题之一，并得到了很多重要的结果。近些年来，随着人们对混沌现象越来越感兴趣，对不可积系统的研究也越来越多。

考虑如下解析系统

式中，x=(x1，…，xn)∈ℂn，f(x)=(f1(x)，…，fn(x))。

定义1 单值函数Φ(x)称为系统(1)的一个首次积分，如果Φ(x)沿着系统(1)的任何一条解曲线都是常数。若Φ(x)是可微的，则可将其写为

式中，＜.，.＞表示欧式空间的内积。

对于给定的系统(1)，在什么样的条件下系统具有首次积分?除了某些简单的情形，这个问题是非常困难的，并且迄今尚无一种办法能对一给定的系统构造出首次积分，因此证明系统的可积性是非常困难的。……