周 靓 苹

(漳州城市职业学院 经济管理系，福建 漳州 363000)

两类平图对应的链环分支数

周 靓 苹

(漳州城市职业学院 经济管理系，福建 漳州 363000)

在纽结理论中，符号平图与链环投影图之间有着一一对应关系，图的对应的链环投影图的分支数与符号平图的符号无关，确定平图的对应的链环投影图的分支数是用平图研究链环的基本问题之一.给出并证明 8.8.6格图和 Aztec diamond图对应的链环分支数.

8.8.6格图；Aztec diamond图；链环；分支数；R-变换

0 引言

如果一个图能画在平面上使得它的边仅在端点相交，则称这个图为平面图.平面图的平面嵌入称为平图.一个符号平图指每条边都标有±号的平图.

在纽结理论中，链环分支数是链环的一个不变量，符号平图与链环投影图之间有着一一对应关系，图的对应的链环投影图的分支数与符号平图的符号无关.这就提供了用平图研究链环的一种方法，在20世纪80年代末，这种对应就被用于纽结理论的Jones多项式[1]和图论的Tutte多项式[2]之间的联系.

本文运用无符号平图的Reidemeister变换(以下简记为R-变换)给出并证明8.8.6格图和Aztec diamond图对应的链环分支数.

本文约定，G指符号平图，D(G)是图G对应的链环投影图，p(G)，q(G)和k(G)分别是图G的顶点数，边数和连通分支数.μ(D(G))是图G对应的链环投影图的分支数(也即图G对应的链环的分支数).则μ(D(G))与图G的符号无关，μ(D(G))也可看作是图G的中间图M(G)直走路数目.

下面是有关μ(D(G))的两个已知结论：

1）设G是一个平图，T(x,y)是G的Tutte多项式.则T(−1,−1 )=(− 1)q(G)(− 2)μ(D(G))−k(G).G是连通平图且

GG τ(G) =TG(1,1)是G的生成树数目，则μ(D(G))＝1当且仅……