许 飞，张改平，张 欢

（装甲兵工程学院 基础部，北京 100072）

关于一类特殊的射影平坦的(α, β)度量的构造

许 飞，张改平，张 欢

（装甲兵工程学院 基础部，北京 100072）

构造了含五个参数的 F =α+β形式的(α,β) 度量，给出其射影平坦的条件，并计算了此种条件下的旗曲率。

(α, β)度量；射影平坦度量；Finsler度量；旗曲率

射影平坦是Finsler几何研究中非常重要的一个方面[1]，最早是由一个世纪前Hibert公布的第四问题转化而来，即找出所有的Finsler度量，使得直线具有最短路径，具有这种性质的Finsler度量称为射影平坦的Finsler度量。常旗曲率[2,3]也是Finsler几何中研究的一个重要方面，它是Riemann几何中截面曲率的推广，本文在此理论基础上构造了一类射影平坦且具有常旗曲率的例子。

1 Finsler几何

定义1 光滑流形M上的Finsler度量就是TM上的一个函数 F：TM → [0,+∞)，满足：

（1）正则性

F在TM{0}上光滑；

（2）一阶正齐次性

F (x,λy )=λF (x,y)，∀λ＞0；

则称F是流形M上的Finsler度量，赋予Finsler度量F的光滑流形M称为Finsler流形。

Rn中一个开集U上的Finsler度量F如果在U上的测地线全是直线，即测地线全σ(t)是常向量，则称度量F是射影平坦的，文献[4]给出了射影平坦的几个等价条件。

设F是Rn的开集U上的Finsler度量，则下面的几个条件是等价的：

（1）F在U上的测地线全是直线；

（2）F测地系数具有以下形式：

其中

（3）F满足

定义2 设(M,F)为Finsler流形，任给流形上一点x，设该点处的切空间中的旗平面P是由 {y,u} ⊂TxM 张成，旗曲率K(P,y)定义为

若K为常数，则称为常旗曲率。

Finsler度量中特殊而重要的一类度量是(α, )β度量，它是由一个Riemannn度量α，一个1-形式β以及光滑流形M上函数φ组成，具体形式是 F=αφ(β/α)，例如

等都是(α,)β度量。

沈忠民[3]构造了一……