天津财经大学 冯绍辉

基于Copula理论的A股与H股尾部相关性研究

天津财经大学 冯绍辉

以往在研究变量间的相关性方法中，线性相关系数和Granger因果分析方法是常用的较简单的方法，然而，线性相关系数要求变量间的关系是线性的，其不能度量变量间的非线性，Granger因果分析只能给出定性的结论，不能加以定量的描述。而由Copula函数及其导出的一致相关测度可以很好地刻画变量间的非线性，非对称性的关系和厚尾分布的相关关系。本文就以A股和H股市场指数为研究对象探讨其变量间的相关性，以期为实际的投资策略研究及风险管理提供参考。

一、Copula函数与秩相关系数概述

（一）Copula函数定义 Copula函数实际上是连接随机变量边缘分布的累积分函数。Skiar指出对于一个具有一元边缘分布的联合分布函数F，F为n维的分布函数，它有边际分布函数F1，…，Fn，那么存在一个Copula函数C满足：

如果F1，…，Fn是连续的，则copula函数是唯一确定的，反之可以得到C（u1，…，un）=F（F1-1（u1），…，Fn-1（un）），其中ui∈［0，1］（i=1，2，…，n）

（二）常用的Copula函数 椭圆Copula和Archimedean类Copula是实际研究中常用到的类型。椭圆Copula主要包括正态Copula和学生t—Copula，在正态Copula函数模型中，极端事件的发生总是彼此独立的，即接近于0或1的可能性彼此独立，而在学生t—Copula函数中极端事件总是相关的。实际中金融资产的分布通常并不满足椭圆Copula的性质，所以大多数学者更为关注的是Archimedean Copula。Archimedean Copula函数的类型主要包括Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula等。

（三）Kendall秩相关系数的定义及与Copula函数关系Copula函数尾部相关系数计算中要用到秩相关系数，现介绍Kendall的秩相关系数 τ定义：设（X1，Y1）和（X2，Y2）是独立同分布随机向量，令τ（X，Y）=P（（X1-X2）（Y1-Y2）>0）-Pr（（X1-X2）（Y1-Y2）<0），于是τ就度量了X与Y变化的一致性程度。可以证明τ=2Pr（（X1-X2）（Y1-Y2）>0）-1。

从上式可以看出 τ∈［-1，1］。

设（X，Y）相应的连接函数C（u，v），则 τ可以由C（u，v）函数得到：

Genestand Mackay证明Kendall的 τ和Archimedean Copula的生成函数 φ（t）存在如下关系，可以求出τ与Archimedean Copula类的θ的关系如表1所示：

学者Frees E.W.与ValdezE.A.对常见的copula函数的适用情况有过研究，得出Gumbel Copula函数的密度函数具有非对称性，GumbelCopula函数对变量在分布上尾处的变化十分敏感，因此能够快速捕捉到上尾相关的变化，可用于描述具有上尾相关特性的金融市场之间的相关关系，如它可以很好地描述牛市时期股票市场间相关性增强的情形；Clayton Copula函数对变量在分布下尾处的变化十分敏感，因此能够快速捕捉到下尾相关的变化，可用于描述具有下尾相关特性的金融市场之间的相关关系，如它可以很好地描述熊市时期股票市场间相关性增强的情形；Frank Copula的密度分布呈“U”字型，具有对称性，因此无法捕捉到随机变量间非对称的相关关系。

表1 Archim edean Copulas的生成函数及τ的表达式

Copula函数的尾部相关关系公式为：

二、实证研究

首先由股价的运行趋势判断适用哪类的Copula函数，求得两类指数的秩相关系数τ，再利用表格所示，求出相应的θ，将θ代入相应的Copula（u，v）函数，求出C（u，v）函数，在代入尾部相关系数公式，求出不同概率水平下的相关系数值。

为研究A股和H股的相关性，选取A股指数和香港国企指数（H股）的收盘价为样本数据，时间长度为2005年9月14日至2010年6月30日，由于这段时间爆发次贷危机股市剧烈震荡，以2007年10月30日为分界点，第一阶段为股市急剧上升阶段，第二阶段为股市下降后平稳震荡阶段，以Rij＝lnPij，t－Pij，t－1（阶段i＝1，2；股市j＝A股，H股；时间为t）数据整理及分析工具为Excel和Eviews6.0。

（一）第一阶段数据分析 用Eviews软件计算得秩相关系数tau=0.2，由于此阶段的股价是急剧上升的，利用Gnmbel coupla函数，由θ与τ关系求的θ＝1.25，代入函数C（a，a），进而求出尾部相关系数。根据Copula函数的尾部相关关系公式和CnmbelCopula函数可以计算在不同的概率值下的尾部相关系数。结果如表2所示。表2中前3个为下尾相关系数，后3个为上尾相关系数。

表2 第一阶段不同a水平下的尾部相关系数

从表2中可以看出随着α的增大，上尾相关系数趋近于0.265，而下尾在α＝0.1时等于0.1815，这说明当A股收益率低于q0.1时，H股指数的收益率以18.15%的概率低于q0.1，当A股指数的收益的分位数高于q0.95时，H股指数的收益27.5%的概率高于q0.95相比较两股市同时跌涨的概率，两股票市场同时发生上涨的概率比较大。

（二）第二阶段数据分析 此阶段的股票指数价格先下降后平稳，利用Clayton Copula函数分析，由秩相关系数tau＝0.379687，计算相应的θ＝1.224179，利用第一阶段的方法求得相应的尾部相关系数如表3所示：前3个为下尾相关系数，后3个为上尾相关系数。

表3 第二阶段不同a水平下的尾部相关系数

从表3中可以看出随着α的增大，上尾相关系数趋近于0.022，而下尾在α＝0.1时等于0.5819，这说明当A股收益率低于时，H股指数的收益率以58.19%的概率低于q0.1，当A股指数的收益的分位数高于q0.95时，H股指数的收益5.4%的概率高于q0.95，相比较两股市同时跌涨的概率，两股票市场同时发生下跌的概率比较大。

由上涨阶段和下降阶段的尾部相关系数可知，当A股股市上涨时同时上涨的概率较大，下跌时同时下跌的概率较大，且同时下跌的概率较大，证明两股市有同向运动的趋势，投资者或政策制定者可以利用这种现象，采取决策。

［1］Sklar A．Fonc tions de repartition an d imensions et leurs marges．Pub lication de l’Insfitut de Statistique de l’Universit6 de Paris．1959，8：229—231．

［2］Nelsen R B．An Introduc tion to CopulaslM］．New York：Sp ringer，1998．

［3］Frees E W，Valdez E A．Understanding relationships using copulas．North American Ac tuarial Journal，1998，2（1）：l一25．

［4］韦艳华、张世英、郭焱：《金融市场的相关程度和相关模式的研究》，《系统工程学报》2004年第4期。

［5］余平、钟波：《基于copula函数的沪深股市相关性研究》，《山西师范大学学院》（自然科学版）2007年第9期。

（编辑 杜 昌）