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(大堰初中 浙江奉化 315509)

七巧板能拼出多少种凸多边形

●董孟雄

(大堰初中 浙江奉化 315509)

1 问题的提出

问题对正方形ABCD按如图1所示划分,其中E,F分别是BC,AB的中点,M,N,G分别是OA,OC,EF的中点,沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”.设正方形OGFM的边长为1.请用这幅七巧板既不留下一丝空隙,又不相互重叠,各拼出1种周长最大与最小的凸多边形,画在图2中,并计算最大周长与最小周长各是多少？

图1

图2

图3

图4

图3中的多边形周长为什么是最大的？图4中的多边形周长为什么又是最小的？笔者亦是百思不得其解,只能换个角度思考：七巧板到底能拼出多少种凸多边形？

2 问题的分析

图5

(2)7块部件的内角总和1 620°,其中有9个直角、12个45°角、2个135°角.

(3)不论拼成哪种多边形,其面积为常量8.

(4)可以从凸多边形的边数分类讨论.

3 问题的解决

3.1 拼成三角形

三角形的内角和等于180°,由七巧板角的特征,知只有180°=90°+45°+45°,因此拼成的三角形必为等腰直角三角形(唯一).因为面积为8,所以直角三角形的直角边长为4,如图6所示.

图6

图7

3.2 拼成四边形

四边形的内角和等于360°,由七巧板角的特征,知

360°=90°×4=90°×2+45°×1+135°×1=

135°×2+45°×2.

3.2.1 360°=90°×4

拼成的四边形为正方形或长方形.

若为正方形,则图形唯一确定,如图7所示;

长、宽分别为4,2的矩形如图8所示.

图8

图9

3.2.2 360°=90°×2+45°×1+135°×1

若2个直角相邻,则拼成的四边形为直角梯形.

若梯形的高为2,则上、下底之和为8,如图10所示.

图10

若2个直角不相邻,则所得四边形如图11所示.过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,连结BD,如图12.设CE=n,ED=m,则

因为四边形的面积为8,所以

即

m2-n2+2mn=16.

又由n

16=m2-n2+2mn>m2-n2+2n2>2n2，

即

n2<8,

解得

n=2或n=1.

当n=2或n=……