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(苏苑中学 江苏苏州 215128)

貌似神离的两类恒成立

●杨品方

(苏苑中学 江苏苏州 215128)

1 提出问题

观察下面2个问题：

问题1已知f(x)=8x2+16x-a,g(x)=2x3+5x2+4x(a为实数)，若对任意的x∈[-3,3]都有f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

问题2已知f(x)=8x2+16x-a,g(x)=2x3+5x2+4x(a为实数)，若对任意的x1,x2∈[-3,3]都有f(x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．

笔者发现，学生对这2个问题的求解很多是靠运气的，这次练习中做对了，下次测试中也许又做错了．究其原因，这2个问题虽然“貌似”但又“神离”，下面让我们来好好辨别．

2 观察问题

问题1中的“f(x)≤g(x)恒成立”，左、右两边所取“自变量”是同一个，譬如f(1)≤g(1),f(-2)≤g(-2)，但又不包括如f(1)≤g(-2)等．事实上,f(1)与g(-2)是不能比较大小的，也没有必要去比较大小，如图1所示．

问题2中的“f(x1)≤g(x2)恒成立”，左、右两边所取“自变量”可以相同，还可以不相同，譬如f(1)≤g(1),f(1)≤g(-2)等．事实上，只要是f(x1)，总有小于等于g(x2)的部分，如图2所示(图中水平虚线仅作分界，不是图像)．

图1

图2

问题2的条件比问题1的条件要“严格”，问题2中a的取值集合是问题1中a的取值集合的子集．

3 解答措施

问题1的解答通常是：记函数h(x)=f(x)-g(x)，求出[-3,3]上h(x)的最大值h(x)max，解不等式h(x)max≤0，从而得到实数a的取值范围．此处

h(x)max=45-a≤0，

故a≥45．

问题2的解答通常是：分别求出[-3,3]上f(x)的最大值f(x)max，g(x)的最小值g(x)min，解不等式f(x)max≤g(x)min，从而得到实数a的取值范围．此处

f(x)max=120-a，g(x)min=-21,

从而

120-a≤-21,

故

a≥141.

4 应用举例

例1已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(3)若函数y=f(x)的图像与x轴交于点A,B，线段AB中点的横坐标为x0,证明：f′(x0)<0.

(2011年辽宁省数学高考理科试题)

分析(1)略；

(3)略.

解(1)略；

g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax，

求导得

故

(3)略.

(1)用a表示出b,c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围．

(2010年湖北省数学高考理科试题)

分析(1)略；

(2)不等式f(x)≥lnx的左、右两边是同一个变量x，应归属于“问题1”类型.

解(1)由题意可得

(2)由第(1)小题知

其中x∈[1,+∞),易得g(1)=0．为研究g(x)，求导得

(2011年陕西省数学高考理科试题改编)

分析要证不等式的左、右两边是同一个变量x，应该归属于“问题1”类型．

解由题意可知

因此

当x>1时，h′(x)<0，h(x)在(1,+∞)内单调递减，因此

h(x)

从而

(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；

分析(1)略；

简解(1)f(x)的最小值为1(过程略).

例5已知函数f(x)=xlnx，g(x)=-x2+2ax-3．

(1)求f(x)在区间[1,3]上的最小值；

(2)若f(x),g(x)在区间[1,3]上单调性相同，求实数a的取值范围；

(3)求证：对任意的x∈(0,+∞)，都有

分析(1)，(2)略；

于是

图3

貌似神离、似是而非的2个恒成立问题，因为左、右两边变量的不同，而导致答案数据相差甚远．通过上述实例的分析可以发现，解决这类问题之前要先判断问题属于哪一类.对于问题1类型的，需考虑差函数，研究该差函数的最大或最小值；对于问题2类型的，先分别求出2边的最大或最小值．尤其要注意的，也是最难的当属例5类型的，表面上是问题1类型(因为左右的变量相同)，实际上是问题2类型(因为一边的最小与另一边的最大作比较)，这也需要我们在解题受阻(像例5的分析)时能及时、有效地调整思路．