李会序，王雪梅

(河南工程学院 数理科学系，河南 郑州 451191)

复数是人们在16世纪解代数方程时引入的，在17世纪和18世纪，随着微积分的发展，人们开始研究复变数函数，特别是把实变数初等函数推广到复变数情形，得到了一些重要结果.复变函数论是在19世纪奠定的理论基础,它的主要研究对象是复数域上的解析函数，通常也称复变函数论为解析函数论[1].

在黎曼的博士论文中引入了“黎曼曲面”的概念，人们从此开始关注拓扑学与分析学之间的关系.同时，黎曼又澄清了对解析函数所下的定义：其实部与虚部在已知界域内满足柯西-黎曼方程

并且进一步满足某些边界与奇点条件.这样,就有了解析函数的定义，复变函数论才真正建立起来.

复变函数论的核心理论是解析函数论，而判断一个函数是否解析的一个非常重要的条件是柯西-黎曼方程，所以研究柯西-黎曼方程及其等价形式就十分必要.随着复变函数的发展，解析函数又有了几种等价定义，例如:

定义1[2]如果函数f(z)在区域D内每一点都可微，则称f(z)在区域D内解析，f(z)为区域D内的解析函数.

定义2[2]如果函数f(z)在D内任一点z0的某邻域内可展开成幂级数

则称f(z)是D内的解析函数.

定义3[2]函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是在区域D内函数v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数.

解析函数的等价定义还有很多，这里不再一一赘述，本文主要通过柯西-黎曼方程的变形得到了一种新的解析性判定定理，并将其推广到了多元……