贾会才，刘付军

(河南工程学院 数理科学系，河南 郑州 451191)

(1)c=0.任何一个等距浸入到En+1中的En的完备流形Mn都是通过一平面曲线建立的n维柱面，即Mn=En-1×C,其中C是正交于En-1的平面上一条曲线.这是Hartman和Nirenberg中的结果[1]，n=2的情形见Massey[2].

定理1 上述浸入的Gauss曲率K是常数的充分必要条件为

其中,0

定理2 设M2={(cosht)b(s)+(sinht)Z(s)，s，t∈R},则M2是等距浸入f∶H2→H3的像，且f的主曲率为:

1 一类常Gauss曲率曲面

由映射F我们可知

Fθ=(-rsinθ，rcosθ，0，0).

因此,映射F定义了一个从R2到H3(-1)的等距浸入，其诱导度量为:

下面我们来看F的单位法向量ξ.

设ξ=(A,B,C,D),显然

<ξ,Fr>=0=<ξ,Fθ>=<ξ,F>=0.

由<ξ,Fr>=0知

由<ξ,Fθ>=0知

A(-rsinθ)+B(rcosθ)=0;

由<ξ,F>=0知

又因为ξ是单位法向量，故

A2+B2+C2-D2=1.

联立以上4个式子，解之得:

则所求的单位法向量ξ为:

由两个切向量Fr,Fθ我们可知:

Fθθ=(-rcosθ,-rsinθ,0,0),

Frθ=(-sinθ,-cosθ,0,0)=Fθr.

则:

h12==0=h21.

则浸入F的主曲率为：

且其Gauss曲率为

由Gauss方程R1212=-1+K可知

又因为K是常数，两边积分得

因为上式对任意的r都成立，且式子右边恒大于0，故K<0，c>0.

所以

其中，0

注记：上述浸入的主曲率是有界的.

2 一类无界主曲率曲面

(s，t)∈R2→x(s，t)∈H2(c),

其中，x(x，t)=(cosht)a(s)+(sinht)Y(s)，容易证明这个映射是从R2到H2(c)的微分同胚,所以我们给出了H2(c)上的一个整体坐标系(s，t).

xt(xs)=-xs.

由于xs,xt可交换，我们也有

xs(xt)=-xs.

假设第二基本形式A满足

其中，λ=λ(s，t)是一个合适的函数.Codazzi方程应该被满足：

xs(A(xt))=xt(A(xs)).

即

所以，λ(s，t)与s无关，且

解之得

所以主曲率为:

由H3中曲面的基本定理可知，存在一个从H2(c)到H3(-1)的等距浸入，且以k1,k2为其主曲率，显然两个主曲率均为无界的.

且

定理2得证.

3 结语

以上是本文寻找的双曲空间中主曲率有界和无界的显示的例子，这些结论为今后这方面的研究提供了一个很好的现实依据.

参考文献：

[1] Hartman P, Nirenberg L. On spherical image maps whose Jacobians do not change sign[J]. Amer Math, 1959(81):901-920.

[2] Massey W. Surfaces of Gaussian curvature zero in Euclidean 3-space[J]. Tohoku Math, 1962(14):73-79.

[3] O′ Neill B, Stiel E. Isometric immersions of constant curvature manifolds[J]. Michigan Math,1963(10):335-339.

[4] Abe K. Applications of a Riccati type differential equation to Riemannian manifolds with totally geodesic distributions[J]. Tohoku Math, 1973(25):425-444.

[5] Ferus D. Totally geodesic foliations[J]. Math Ann, 1970(188):313-316.

[6] Nomizu K. Isometric immersions of the Hyperbolic plane into the Hyperbolic space[J]. Math Ann,1973(205):181-192.

[7] Ferus D. On isometric immersions between Hyperbolic spaces[J]. Math Ann, 1973(205):193-200.

[8] Hu Z J, Zhao G S. Classification of Isometric immersions of the Hyperbolic spaceH2intoH3[J]. Geometriae Dedicata,1997(65):47-57.

[9] Hu Z J, Zhao G S. Isometric immersions from the Hyperbolic spaceH2(-1) intoH3(-1)[J]. Proceedings of the American Mathematical Society,1997(125):2693-2697.