张棉棉

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

FCR-代数在Cleft扩张下的不变性

张棉棉

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

文章主要讨论FCR-代数在半单Hopf代数Cleft扩张下的不变性.文中首先给出Cleft扩张和交叉积之间的联系.然后证明了:当H是有限维半单余半单Hopf代数时,FCR-代数在H-Cleft扩张下是不变的.

Cleft扩张；交叉积；FCR-代数

0 引 言

FCR-代数是一类非常有趣的代数.其概念的产生源自特征为0的半单李代数g的包络代数U(g)广为人知的性质(见文献[1]):

1) U(g)的每个有限维表示是完全可约的;

2) U(g)是residually有限维的,即U(g)的所有有限维表示的核的交为{0}.

1994年,Kraft和Small在文献[2]中把满足上述两个性质的代数定义为FCR-代数.具体地,称一个代数R为FCR-代数,如果R的每个有限维数表示是完全可约的,且R是residually有限维的.

经典的FCR-代数例子有:有限维半单代数,半单李代数的包络代数(特征为0的情况),量子包络代数Uq(g)(q不是单位根),以及orthosymplectic李超代数osp(1,2r)的包络代数U(osp(1,2r))[3].

文献[2]的命题1证明了:如果R是一个域k上Noetherian的FCR-代数,G是R的一个有限自同构群,且k的特征与G的阶数互素,那么不变子环A=RG也是一个FCR-代数.

文献[3]的命题2.2证明了:设S是R的正规扩张,且S作为R-模是忠实平坦的.如果S是一个FCR-代数,那么R是一个FCR-代数.

文献[4]的定理5.4证明了:设H是一个有限维半单Hopf代数,R是一个H-模代数.如果R是一个FCR-代数,那么A=R#H是一个FCR-代数.

在此主要考虑FCR-代数在半单Hopf代数Cleft扩张下的不变性.

1 准备知识

文章假定k是域,涉及到的代数为k-代数,如无特别指出,涉及到的模为左模.

设B是一个k-代数,A是B的一个子代数,H是一个……