徐 燕，鲁世平

(安徽师范大学数学与计算机科学学院,安徽 芜湖 241000)

多偏差变元的捕食-被捕食Lotka-Volterra模型的周期正解

徐 燕，鲁世平*

(安徽师范大学数学与计算机科学学院,安徽 芜湖 241000)

作者研究了一类多偏差变元3种群捕食-被捕食Lotka-Volterra模型.通过利用重合度拓展定理和一些分析技巧,得到了该模型的周期正解的存在性.

周期正解;重合度拓展定理;Lotka-Volterra捕食-被捕食种群模型

1 引言及预备

近年来,许多人将泛函微分方程理论应用到生态数学当中,并且提出了各种各样的模型，如在人口力学、生态学和流行病学等方面,尤其是人口力学Lotka-Volterra模型,由于在理论和实践方面的重要性,已被越来越广泛地应用.吕翔用Krasnoselskii固定点定理获得了模型[1]

(1)

的周期正解的存在性.其中x1(t)表示在时刻t被捕食动物的数量,x2(t)和x3(t)表示在时刻t捕食动物的数量,ri,aij∈C(R,[0,∞))和τij∈C(R,R)都是w-周期函数且

近年来,许多作者运用重合度理论解决周期解存在问题,如鲁世平证明了一类多偏差变元的n种群Lotka-Volterra模型的周期正解[2].范猛,王克研究了具有偏差变元的捕食者-食饵系统全局周期解的存在性[3].受此启发,该文利用重合度理论得出模型(1)周期正解的存在性.

2 主要引理

引理1[2]如果τ∈C(ω)满足τ∈C1(R,R)且τ′(t)<1,∀t∈[0,ω],则函数t-τ(t)存在唯一反函数μ(t)满足μ∈C(R,R)且μ(a+ω)=μ(a)+ω,∀a∈R.

注1如果g∈C(ω),τ∈C(ω)满足τ∈C1(R,R)且τ′(t)<1,∀t∈[0,ω],由引理1易见g(μ(t+ω))=g(μ(t)+ω)=g(μ(t)),∀t∈R,其中μ(t)∈C(R,R)为t-τ(t)的反函数,故g(μ(t))∈C(ω).

(a) ∀x∈∂Ω∩D(L),λ∈(0,1),Lx≠λNx;

(b) ∀x∈∂Ω∩KerL,QNx≠0;

为了利用引理1和引理2,文中设X=Y=C(ω):={x|x∈C(R,R3),x(t+ω)≡x(t)},ω>0为常数,其模定义为‖x‖=maxt∈[0,ω]|x(t)|,再设τij′<1,由此得函数t-τ(t)存在连续反函数,记为σij(t),i,j=1,2,3.

注2利用引理1，不难发现σij(ω)=σij(0)+ω,i,j=1,2,3.

作变换xi(t)=expyi(t),(i=1,2,3),则系统(1)可化为

(2)

显然系统(1)存在ω-周期正解当且仅当系统(2)存在ω-周期解.

3 主要结果

设

(3)

其中D(L)={y|y∈X,y(t)∈C(R,R3)},N:X→Y,

(4)

定理1设下面条件满足：

[Ⅱ] 系数矩阵detA>0且detAi>0,矩阵A和Ai(i=1,2,3)由式(10)(11)所定义,则系……