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(锦屏高级中学 江苏连云港 222021)

第十个优美不等式的另一证明

●殷长征

(锦屏高级中学 江苏连云港 222021)

文献[1]给出了安振平教师提出的26个优美不等式中第10个不等式的具体证明.其中第10个不等式为：

笔者经过思考探究得出另外一种证明方法，现整理如下,供大家参考.

⟺

⟺

tan2α+tan2β≥2tan(α+β)[1+tan2(α-β)]

⟺

tan[(α+β)+(α-β)]+tan[(α+β)-(α-β)]≥2tan(α+β)[1+tan2(α-β)]

⟺

⟺

(1)

因为tan(α+β)gt;0，所以式(1)等价于

得

即

0≤tan2(α+β)tan2(α-β)lt;1.

显然,0≤tan2(α+β)tan2(α-β).下面证明:tan2(α+β)tan2(α-β)lt;1.

tan2(α+β)tan2(α-β)lt;1

⟺

tan4α-2tan2αtan2β+4tan4β≤1-2tan2αtan2β+tan4αtan4β

⟺

(tan4α-1)(1-tan4β)lt;0.

(2)

[1] 尚生陈.第十个优美不等式的证明[J].中学数学教学参考(上旬)，2010(9):70.