祝奔石

(黄冈师范学院数学与计算机科学学院，湖北黄州438000)

分数阶微积分及其应用

祝奔石

(黄冈师范学院数学与计算机科学学院，湖北黄州438000)

本文介绍了分数阶微积分的历史、基础知识以及在实际问题中的应用.

分数阶微积分;分数阶Riemann－Liouville导数;分数阶Caputo导数;应用

1 分数阶微积分的历史与基础知识

在展开论述之前，首先介绍一下分数阶微积分的定义.所谓分数阶微分或积分，不是指一个分数或一个分式函数的微积分或微分，而是指微分的阶数和积分的次数不是整数，它可以是任意实数，乃至于复数.当然，就目前而言，在实际问题中还没有出现阶或次数为复数的情形.分数阶微积分的历史几乎和整数阶微积分的历史一样久.1695年，微积分的发明者、德国数学家Leibniz和法国数学家L’Hospital就曾以书信的方式探讨过把整数阶导数扩展到非整数的情况.比如说，令，则对于这个问题，Leibniz也是一头雾水，没有给出一个合理的答案.n(n=124)年后，Lacroix首次给出了这一问题的正确解答:由于分数阶微积分理论与通常的整数阶微积分理论相左，又没有实际应用背景，在此后的一百多年里一直发展缓慢，直到1983年Mandelbort首次指出自然界及许多科学技术领域中存在大量的分数维事实，且在整体与局部之间存在自相似现象以后，作为分形几何和分数维的动力学基础，分数阶微积分才重新获得了新的发展而成为当前国际上的一个热点研究课题，并在许多领域得到了广泛的应……