刘瑞香

数理统计是具有广泛应用的数学分支，而区间估计问题在其中占有很重要的地位。在固定的置信度下，一般认为置信区间的长度越短越好。而用传统方法得到的置信区间一般不是最短的。因此最短区间估计就成为文献中研究较多的问题之一。文[1]研究了正态总体方差的最短区间估计，文[2]研究了伽玛分布参数的最短置信区间。在区间估计问题中，常常构造的枢轴量是单峰分布，如正态分布，t分布，χ2分布，F分布等。文[3]研究了当未知参数的分布为单峰分布时的最短区间估计问题。本文在文[3]基础上用构造枢轴量的方法来讨论枢轴量为单峰分布的最短区间估计，证明了当未知参数分别在枢轴量的分子和分母上时最短置信区间是存在且唯一的；进一步给出了求参数最短区间估计需满足的条件。

定义1[3]设连续型随机变量X的概率密度为 f(x),在(-∞,+∞)(或(0,+∞))内有唯一极大值点 x0，则称X的分布为单峰分布，点x0称为其峰点。

从定义可以看出，若X为单峰分布的随机变量，其概率密度为 f(x)，x∈(-∞,+∞)(或(0,+∞))，x0为其峰点，则当 x＜x0时，f′(x)＞0; 当x＞x0时，

引理[4]若连续型随机变量X为单峰分布，x0为其峰点，其概率密度为 f(x)，x∈(-∞,+∞)(或(0,+∞))，且当x→±∞(或x→0+,+∞)时，f(x)→0，则对任意 b＞x0，必存在唯一的a＜x0,使 f(a)=f(b).

下面只讨论 f(x)定义在(0,+∞)内情况，在(-∞,+∞)内情况同样可以讨论。

设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，总体X的分布函数为 F(x,θ)，其中

θ＞0,θ∈Θ为未知参数。

对θ进行区间估计，构造枢轴量T=T(X1,X2,…,Xn;θ)是样本 X1,X2,…,Xn和θ的函数，其分布密度为 g(x)，(g(x)与 θ无关)，分布函数。适当选择两个常数T1,T2，使对给定置信水平α(0＜α＜1)，有

假如能将T1≤T≤T2进行不等式等价变形化为a≤θ≤b，则