张红霞，李俊平

1 模型建立

马尔可夫过程是一类极为重要的随机过程，是解决存储问题、排队问题、人口问题、风险问题等等的有效的数学工具。而马尔可夫分枝过程又是马尔可夫过程的重要分支，在排队论、生物学、物理学等等中具有非常广泛的应用。经典马尔可夫分枝过程已得到广泛研究，它的最基本的性质就是分枝性，直观的说，分枝性就是系统中不同粒子之间是相互独立、互不干扰的。然而，在大多数现实情况中，不同粒子之间往往不是相互独立的，而是密切相关的，因此很多学者对经典马尔可夫分枝模型进行了多种形式的推广。如Pakes和Tavare[1]、Li.J.P和Chen.A.Y.[2,3]等等.本文是在前人工作的基础上推广了模型，同样具有相当重要的研究意义。

针对于移民状态下，建立以下分枝模型：

定义 1.1 一个 q-矩阵 Q={qij;  i,j ∈ Z+}被称为 QWBI-q-矩阵,如果

在本文中，Z+={ }0, 1, 2… ，QWBI-q-矩阵：带移民的二次加权q-矩阵；QWMBPI：带移民的二次加权马尔可夫分枝过程

定义1.2一个QWMBPI就是一个Z+-值的连续时间参数的马尔可夫链,其转移函数P(t)={pij()t;  i,j∈ Z+} 满 足Kolmogorov向前方程：P'(t)=P(t)Q且Q形如(1.1).

分别表示平均出生率,移入率,死亡率。

2 吸收概率

设   {X(t); t≥ 0} 是给定的 WBI-q-矩阵 Q 的(唯一的)WMBPI,显然0为吸收状态.

为   {X(t); t≥ 0}的吸收时刻,对 ∀i≥ 1,有pi(τ0＜∞)表示粒子从状态i出发,而被吸收的概率,即到达状态0的概率。由[4]及式(1)易知状态集{1,2,…}构成一个连通类,所以对∀i≥1,要么ai0=1,要么ai0＜1.

由文献[1,5]易知下面的引理2.1成立.

x*i=qi0=0(0 ≤ xj≤ 1 , i ≥ 1)的最小解.

下面的定理2.2.利用引理2.1得到了吸收概率ai0=1(∀i≥1)的充分必要条件以及在三种情况下的表达式。

定理2.1记s0为方程 B(s)+s A(s)=0在……