李洪伟，周云龙

(1.华北电力大学 能源动力与机械工程学院，北京 102206;2.东北电力大学 能源与动力工程学院，吉林 吉林 132012)

0 引言

两相流动现象广泛存在于化学、石油、动力工程以及各种加工工业的换热设备中，如蒸发器、冷凝器、锅炉以及油气输送等。流型在两相流的流动和传热特性的研究中是非常关键的。它虽然没有定量的描述，但它是决定传热与流动的计算依据。不同的流型，有其独特的传热与流动机理。流道中流型的变化往往会引发流阻、流动的稳定性改变以及出现传热危机。因此，在气液两相流动中，流型的研究与确定是首要任务［1］。由于两相流存在复杂相间界面效应及相对运动，所以，准确识别两相流流型还相当困难，尤其是流型转变动力学机理至今尚未十分清楚。两相流是一个复杂的非线性动力学系统，自20世纪90年代以来，基于混沌及分形时间序列分析的流型识别研究成果日趋增多［2～5］，运用两相流动态图像平均灰度的脉动信号进行非线性动力学特性表征分析，对揭示及理解具复杂性、不确定性且很难用数学模型精确描述的两相流流型转化机理是有益的补充与探索。

关联维、李亚普诺夫指数、近似熵都成功应用在气液两相流的研究中，有不同流型的差压信号、电导信号等，这些研究都充分的证明了气液两相流各种流型的波动信号都具有混沌特性。HURST指数分析在气液两相流差压信号中的应用表明其同样具有分形特性。自1986年Halsey等人提出多重分形概念以来，多重分形便在各个领域取得了迅猛发展。也有相关文章介绍了其在气液两相流研究中的应用。以往的研究多集中在对多重分形奇异谱宽度和峰值位置的分析上，这种方法描述的是最大和最小子集概率测度的差异，它的大小反映了整个分形结构概率测度分布的不均匀程度。文献［6］使用奇异谱面积作为多重分形参数，认为该谱曲线所形成的面积一定包含了数据序列的所有信息。而文献［7］提出了多重分形质量指数谱τ(q)，提取了分别代表该谱曲线曲率和面积的新参数 Kτ(q)和lnSτ(q)，并将其成功地应用在对人体心电信号的分析当中。本文尝试应用此种方法对气液两相流的图像波动信号进行分析，这两个参数的值越大代表信号的非线性复杂程度越高。通过提取能体现气液两相流三种典型流型图像波动信号变化特征值的研究途径的系统探索，证明用 Kτ(q)和lnSτ(q)两种特征值可以有效地描述流型的变化特点，同时，结合气相与液相速度变化研究两特征值的变化趋势，发现同样对揭示气液两相流流型特征及其形成机理有一定的参考价值。

1 理论介绍

1.1 多重分形算法

多重分形是定义在分形上的、由多个标度指数 (如广义维数、广义Hurst指数、多重分形谱等)的奇异测度所组成的集合，它刻画的是分形测度在支集上的分布情况，即用谱函数来描述分形不同层次的特征。计算多重分形谱的方法一般有盒计数法、柱状图法、结构函数法及小波极大模法等。本文采用的是盒计数法计算多重分形谱，其具体求解方法如下［8］。

对所采得的一组实验数据进行归一化处理，用Pi表示，根据式 (1)生成新的时间序列 {Pi，i=1，2，3，……，N}，其中N为时间序列的长度。

式中:n为时间分辨率λ时所对应的时间间隔总数;q∈(－∞，+∞)且为实数。

若研究的时间序列具有多重分形特征，则在某无标度区间内满足如下的关系式:

式中:τ(q)为质量指数，可通过对log(xq(λ))～log(λ)双对数曲线中线性区间的点进行最小二乘法回归拟合来估算。若τ(q)与q不呈直线关系，而为单峰函数关系，则此时间序列具有多重分形特征。

通过计算物理中的Legendre交换可得到 a，f(a)，τ(q) 之间的关系为

即通过计算归一化价格Pi，配分函数xq(λ)和质量指数τ(q)，采用最小二乘法回归拟合就可得到a和谱函数f(a)。式中a为奇异性指数，反映了归一化指数概率测度局部的奇异性强度。

1.2 质量指数谱的曲率和面积

质量指数曲线揭示了分形程度的强弱。线性的τ(q)曲线对应于单重分形，所有点均属于同一个分形维数;而曲线中变化的曲率则表明多重分形，或称分形测度，反映了分形结构复杂性的增加。曲线的曲率越大，代表其信号的非线性程度越强。质量指数谱的曲率和面积可以用来作为原始序列非线性复杂程度的度量［7］。

图1和图2分别为经典的Lorenz信号和Henon信号的质量指数谱。从图中可看出，该曲线由离散的数据点组成，其疏密程度由q的取值决定，两边分别具有不同的线性特性，并且在点 (1，0)处形成一个较明显的拐角。为了定性地分析该曲线，以q=1把曲线分为左右两部分，分别对这两部分实验数据进行最小方差直线拟合，结果相交于A，夹角为φ(φ∈(π/2，π］)，形成的线段长度分别为 l1，l2，定义质量指数谱的曲率和面积。

图1 Lorenz混沌吸引子与质量指数谱Fig.1 The chaotic attractor of Lorenz and the mass exponent spectrum

图2 Henon混沌吸引子与质量指数谱Fig.2 The chaotic attractor and the mass exponent spectrum of Henon

同时用二尺度和三尺度的Cantor集进行了验证，所得到的结果同文献［7］相似。Cantor集具有自相似结构，是一个分形系统，选择不同的生成元测度，得到两个参数的变化情况如图3所示。结果表明，随着生成元概率测度差异的增大、系统复杂性的增加，Kτ(q)和lnSτ(q)值也随之升高，从而证明了这两个参数在探测该混沌时间序列复杂性方面是有效的。

图3 2－Cantor和 3－Cantor set验证结果Fig.3 The verification results of the 2－Cantor and the 3－Cantor

1.3 多尺度原理

多尺度可以帮助寻找最适当的采样频率，应用多个尺度因子来研究原始序列的不同时间段。对原始时间序列x={x1，…，xi，…，xN}，构造它的粗粒化时间序列，即 {y(γ)}，

其中γ是尺度因子。当γ=1时，时间序列y(1)即为原始时间序列x。

图4为Lorenz序列和Henon序列质量指数谱曲率Kτ(q)在不同尺度下的分布情况，通过对比发现，在尺度因子集中在5和6时，该值较其他几个值绝对值最大，尤其是在尺度5处，出现明显的拐点，可以理解为无论是Lorenz信号还是Henon信号在2倍频处包含的系统信息都是比较丰富的地方，是序列信息的高频处，多尺度分析的意义就是通过构造粗粒化时间序列，寻找能够表达其复杂动力学特征的最有效参数，从而发现一些深层次规律。发现尺度5符合这样的条件，所以在下面的分析中重点就尺度5的气液两相流图像波动信号进行分析说明。

图4 两序列质量指数谱曲率随尺度因子变化曲线Fig.4 Curve of the mass exponent curverate of two serises with changes of scale factor

2 实验数据采集

实验是在空气—水两相流系统上完成的，如图5所示。本实验选用内径40 mm，长为2 m的透明有机玻璃管。水体积流量范围:0.007～3.180 m3/h，空气体积流量范围:0.500～4.585 m3/h。在水平测试管中采集到大小为1 536×1 024，帧频为125帧/s的动态流型图像中截取3种典型图像如图6前半部分所示。

图5 空气—水两相流实验系统Fig.5 The experiment system of gas－liquid two－phase flow

在图像的诸多特征中灰度是其中最重要的1个，采用式 (8)求解图片的灰度均值g。

式中:L为可能的灰度级数;zi为表示亮度的随机变量;p(zi)为1个区域中的灰度级的函数。实验中将每个流型动态图像中每帧图像的灰度均值组成1个时间序列，三种典型流型的灰度脉动序列如图6后半部分所示。

图6 三种典型流型的图像及其相应的灰度脉动序列Fig.6 Three typical flow patterns and their corresponding sequences of gray pulse

3 气液两相流型质量指数谱特征分析

3.1 特征分析

图7为三种典型流型的质量指数谱与奇异谱。图8为不同尺度下的三种典型流型的两个参数空间分布情况，从图中可以看出，计算结果同前面分析的Lorenz和Henon序列相吻合，主要信息集中在尺度5下。在后面的参数计算中如无标注都是在尺度5下得到的。图9为三种典型流型每种取20组数据，分别求取 Kτ(q)和lnSτ(q)两个参数，从图中可以看出两个参数的分类效果比较理想，明显能够区分开三种流型，段塞流位于图中左下角，然后依次接近于线性向上的呈现雾状流与泡状流的分布。在分类效果上会在后面进行详细介绍，下面主要是分析一下图10中不同液速下，气相速度逐渐增加，Kτ(q)绝对值的变化情况。从图10两幅图对比得出，图10(a)的只出现了三种流型，分别为泡状流、泡状—段塞过渡流和段塞流。图10(b)中出现了五种流型，增加了段塞—雾状过渡流和雾状流两种流型。由于图10(a)中的液速相对较小，即使气速相对较大都不会出现后面两种流型。Kτ(q)绝对值同序列的信息复杂度成正比，在图像信息中可以得到的最直观的感受是段塞流复杂度较小，于是在两幅图中都可以看到段塞流处于曲线的谷底。而随着气相速度增加，呈现出先减小后增大的趋势，表明图像信息的复杂度先减小后增加，对应于流型分别为泡状流、过渡流、段塞流、过渡流和雾状流。泡状流的特点是气液散落在连续的液相中，以气泡形式弥散于管道中，且由于浮力作用使得大部分气泡位于管道上半部分。而随着向段塞流过渡，小的气泡不断聚并，使得图像的信息逐渐变得简单，当真正的段塞流出现的时候，图像的复杂度降到最低，只有段塞与液相的交替出现，小的气泡已经不存在或者很少，对图像信息的影响较小，可以忽略不计。随着气相表观速度的继续增大，逐渐将气塞压迫变形、破碎，使其以更小的气泡形式弥散于液相之中，大片的气泡连到一起，使图像的复杂度增加到一个新高，但较泡状流要稍低。

对三种典型流型的不同样本进行两个参数的求取，每种流型选20个样本，然后计算其平均值与标准差 (图11)。从图中可以看出，泡状流的质量指数谱的 Kτ(q)绝对值、lnSτ(q)均大于其他两种流型。代表其曲线的弯曲程度最大，雾状流次之，段塞流则最小。这表明从图像信息方面进行理解，泡状流的信息非线性动力学复杂程度最高，而雾状流与段塞流依次降低，到段塞流则趋于线性。从图11中可以看出，Kτ(q)绝对值可以很清楚的把三种流型区分开 (从图中的矩形可以看出)，而lnSτ(q)中在段塞流和雾状流的分界上矩形有重叠部分，说明效果不如Kτ(q)好。

图8 不同尺度下三种流型两个参数的空间分布Fig.8 The spatial distribution of two parameters of three flow patterns at different scales

图11 三种流型不同样本的图像信号质量指数谱曲率、面积的算术均值和标准差Fig.11 The arithmetic mean and standard deviation of mass exponent spectrum's curvature and area'of different samples'image signal of three flow patterns

3.2 方法比较

这里选用两个指标来衡量分类效果［8］。

首先考虑两组数据间的比率因子η:

式中:μ1，μ2分别为两种不同流型序列的参数统计均值;σ1，σ2为其各自的标准差。对一个良好的分类，组间数据均值的差异应远大于它们的标准差，即η≫1。其次还有一个标准是计算达到两组数据最小不正确分类状态下边界均值的统计距离d2:

表1中列出了几种方法对同一标准下的几种流型图像序列进行特征提取后的η和d2值。这两个值越大，表明该方法的分类效果越明显。表中不仅罗列出了本文用到的两个参数，同时列出了文献［7］和文献［9］用到的 Laxis(τ)、Saxis(τ)、A(τ)、Δα和lnSf(α)五个参数。分别为混沌吸引子长轴、短轴、面积和奇异谱宽度、面积。具体见图1Lorenz混沌吸引子示意图以及图6三种流型奇异谱。通过对比发现在尺度5下的Kτ(q)和lnSτ(q)分类指数较高，与其他文献中应用到的方法或者相近，或者略高，达到了最好的综合区分效果。

表1 几种方法分类结果的比较Tab.1 Comparison of classification results in several ways

4 结论

(1)通过对Lorenz、Henon典型分形序列和Cantor集的Kτ(q)和lnSτ(q)两特征提取结合多尺度分析，发现这两个特征参数具有明显的代表性，能够对信号动力学非线性进行刻画，是有效的特征参数。

(2)应用多尺度粗粒化分析，发现三种流型的图像灰度信息的多尺度分析结果同Lorenz与Henon序列相吻合，尺度5为高频信息带，具有丰富的动力学特征。

(3) Kτ(q)和lnSτ(q)两种特征无论从分类上还是从机理分析上都能够达到令人满意的效果，证明特征量关联是一种分析气液两相流的有效手段。

(4)同其他文献中的方法相比较，Kτ(q)和lnSτ(q)特征参数综合分类效果最好，其随气相表观速度增加的情况下能够对两相流动机理进行揭示，是对多重分形理论有益的补充。

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