332100 江西省九江第一中学 江民杰

2011年高考已落下帷幕，江西卷理科第10题及文科第10题立意新颖，构思独特，其内容涉及摆线，是教材内容的延伸，较大程度考查了学生数学能力.本文以理科第10题为起点，进一步认识摆线及其方程.

1 赏析

(2011年江西)如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是

解 方法1 特殊位置可选A.

由平面几何知，两圆内切，故点N，O2，P三点共线，

故NP为小⊙O2的直径，从而∠PM'N=90°，

又∵∠MNP=θ，故PM'⊥x轴.从而M'必在x轴上，故M点的轨迹为y=0(-1≤x≤1)同理N点的轨迹为x=0(-1≤y≤1)，选 A.

2 溯源

我们知道：一个圆在平面内沿着一条直线无滑动地滚动，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫做平摆线.教材选修4-4专门讨论了平摆线.

实质上，本题就是历史上著名的卡丹问题：当一个圆盘沿一个半径是它2倍的圆内无滑动地滚动时，小圆上一点画出怎样的图形.

如果我们不限制小圆半径和大圆半径的关系，那么更一般的情况是怎样呢?

一个动圆在定圆内无滑动滚动时，动圆上一定点的运动轨迹叫做内摆线.

如图3所示，设定⊙O半径为R，动圆半径为r，取定圆圆心O为原点，点A为动圆圆周上所规定的一个定点，并记A点是动圆开始滚动时与定圆的切点，以OA为x轴，建立直角坐标系，当动圆滚动到与定圆相切于B点时，A点相应运动到A'点，令∠AOB=t.

则内摆线的参数方程为

则得到动点A的轨迹方程为……