832000 新疆石河子一中 杨长根

2011年高考尘埃落定，仔细研读高考数学试题，感觉整个试卷试题难度梯度设置比较平稳，知识考查平中见奇，尤其是第16题(新课标卷理科数学).题目如下：

题目 在 △ABC中，B=60°，AC，则AB+2BC的最大值为.

此题作为一道填空题，题目的表述简洁明了，初看很平淡，但细细赏玩，却感到厚味很足.下面就本人对此题解法的种种考虑一一细述，以飨同仁.

于是有a=2sinA，c=2sinC，

所以有AB+2BC=c+2a=4sinA+2sinC. ①

又因为在△ABC中，A+B+C=180°，且B=60°，

所以：C=120°-A，于是

代入①式得

这一解法利用正弦定理进行边角转换，将三角形中关于边的不等式问题转换为关于角的不等式，充分利用三角函数的有界性进行处理.我想，这应该是此题的正统解法.如果仅限于此，那么此题的入口就比较狭窄，作为高考题显然欠一些分量.

如果一上手就使用余弦定理得到a2+c2-ac=3，然后求AB+2BC=c+2a的最大值，从不等式的角度来理解，应该是一个中规中矩的不等式问题，但作为学生，这方面的考虑能力要求较高，尤其是对式子a2+c2-ac=3的理解和变形如果不到位，就难以为继.但是我想，应该有不少学生会采用这一思路的，至于能不能进行下去，就不好妄加揣测.下面我就对这一思路加以深入探讨.

如果以代数方程的观点看待式子a2+c2-ac=3，可以产生以下两种解法.

解2 由余弦定理可知：a2+c2-ac=3. ②

设AB+2BC=c+2a=t＞0，则有c=t-2a.

根据题意，方程③显然有解，故有

Δ =25t2-28(t2-3)≥0，即有t2≤28，注意到t＞0，

当t= 2时，方程③为7a2-10+25=0，解此方程得a=，从而可得c=，显然满足题意.

这一解法的关键是将a2+c2-ac=3看成一个二次方程，设AB+2BC=c+2a=t后代入此式，运用一元二次方程的知识处理……