638500 四川省邻水中学 李真福

在高三教学中，笔者遇到了这样一道高考模拟题：

其参考答案为∵f'(x)=a-4x3，

本文特记录笔者对该题目及其参考答案的真实思考过程，以供参考.

1 审题伊始——三个质疑

质疑2参考答案的解法，显然是认为在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)上可导的函数f(x)，其导函数f'(x)的值域(由导数的几何意义知，它就是切线斜率的取值集合)与f(x)图象的割线斜率的取值集合一定相等.而实际上，二者并不一定相等.这是因为割线与切线是两个不同的概念——函数图象在某点处的切线，是函数图象在过该点的割线的极限位置，所以二者并不一定相等.例如：

设函数 f(x)=2x3，x∈［-1，1］，

则 f'(x)=6x2，-1＜x＜1，

∴ f'(x)的值域为［0，6)，

由f(x)的图象(图1)知，其割线斜率不可能取到0，

∴这时导函数f'(x)的值域与f(x)图象的割线斜率的取值集合不相等.

下面给出两个正确结论.

结论1设函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)上可导，且函数f(x)图象的割线斜率的取值集合为M，导函数f'(x)的值域为N，则必有M⊆N.

这是因为对于函数f(x)图象的每一条割线，都至少存在一条切线与它平行，所以上述“结论1”正确.

结论2设函数f(x)是在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)上可导的凸函数，且函数f(x)图象的割线斜率的取值集合为M，导函数f'(x)的值域为N，则必有M=N.

这是因为一方面，由上述“结论1”有M⊆N;而另一方面，由于函数f(x)还是凸函数，所以对于函数f(x)图象的每一条切线，又都存在至少一条割线与它平行，从而同时有N⊆M.综合两个方面，必有M=N.故上述“结论2”正确.

②将上述“结论2”中的“凸函数f(x)”改为“凹函数f(x)”，其它条件不变，结论仍成立.

2 另起炉灶——两种正解

由于该题目的参考答案并没有证明该题目满足M=N，所以参考答案提供的解题思路有待商榷.能否换个角度进行求解呢?经过探索，笔者得到了两种正确解法.

正解1构造函数求解.

∵由①知，②，③两式须同时成立，

正解2运用不等式的性质求解.

3 揭开面纱——两点反思

反思1对于在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)上可导的函数f(x)，其图象的割线斜率的取值集合一定是开区间吗?

反思2参考答案提供的解题思路一定行不通吗?

经笔者探究，答案也是否定的.请看下面的“正解3”.

∴由上述“结论2”知，f(x)图象的割线斜率的取值集合M与导函数f'(x)的值域N相等.