163316 黑龙江省大庆实验中学 侯典峰

唯物辩证法认为，质量互变规律、对立统一规律和否定之否定规律是支配自然界、社会和人类思维最一般的规律.数学中的辩证思想就是遵循这些规律，对数学对象矛盾双方的相互联系和相互制约关系认识的思维产物.对立统一思想是指人们认识事物辩证发展的一种思维法则，一分为二是对立统一思想的重要表现形式，数学中的一分为二思想，指的是在观察、分析、处理数学问题时，要多侧面，多角度、全方位地全面考虑，不仅要看到问题的一面，还要看到问题的另一面及这两个方面在一定条件下是可以相互转化的，只有运用一分为二的思想来观察、分析、处理，才不会使我们的视野局限于一隅，使我们思维更加开阔.在教学中，注重引导学生学会用辩证思想去观察分析事物，研究和解决问题，既可以为学生逐步确定辩证唯物主义世界观奠定基础，同时也对他们学习数学知识和提高思维能力有很大帮助.

下面是笔者对一道三角证明题的直接与间接的论证，正面与反面的思考，多角度、全方位的探究.整理成文，与大家分享.

题目已知α，β均为锐角，若sin α+()β=2sinα，则α＜β.

分析 发现题目条件给得比较少，第一感觉正面下手入口难寻找，应用正难则反策略来思考，反证法的确很巧.

证明1 若 α≥β，由 α，β 均为锐角，可知0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，且 sinα≥sinβ，则

这与sin α+()β=2sinα矛盾，故α＜β.

证明2 若 α≥β.由 α，β，均为锐角，可知 0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，且 sinα≥sinβ.

一方面sin α+()β=2sinα≥sinα+sinβ;

证明3 若 α≥β，则2α≥α+β，又 α，β 均为锐角，函数y=cosx在0，()π上单调递减，

因此cos2α≤cos α+()β，即1-2 sin2α≤cos α+()β，

又α，β均为锐角，0＜α+β＜π，cos α+()β≠1，与先前推导出的cos α+()β=1相矛盾，故α＜β.

点评 我们知道，直接从原命题的条件逐步推得结论成立，这种证明方法叫直接证明，而间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法，是从反面的角度思考问题的证明方法.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.

反证法的步骤：

(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;

(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾;

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

可能出现矛盾四种情况：

①与题设矛盾;

②与反设矛盾;

③与公理、定理矛盾

④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.

证明1中属于第①种情况，证明2、证明3属于第④种情况.

反思 回顾上述解法可发现，尽管条件与结论比较简单，若能找到合理切入点，推出矛盾角度还是比较多的，一个想法突然显现，此题证明能否选正面?

经反复思考，琢磨，得到如下几个直接证明.

证明 4 因为α，β均为锐角，所以0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，由题意可知

又sinα( cosβ-1)＜0，所以cosαsinβ-sinα＞0，故可得sinα＜cosαsinβ＜sinβ，而α，β均为锐角，故α＜β.

结合正弦函数的单调性可知α+β＞2α，α＜β.

证明9 以原点为圆心，分别以1，2为半径作两个圆，在半径为2的第一象限内的圆弧上取一点 Q，使∠POQ=β，

则易知 P(2cosα，2sinα)，

证明10 作△ABC，∠A=α，∠B=β，

又因为 sin(α+β)=2sinα，所以 c=2a，

按照一定的方向和路线，运用逻辑思维的方式，对问题进行一定范围内的纵深挖掘的思考方法称为直接思考，变换一下思维角度，从相反的方向去思考的一种思维方法称为逆向思维，对于某些问题，有时，若能改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能变得比较简单，解决变得轻而易举，有着意想不到的效果;有时，若能善于观察、善于联想，善于发现，深入思考后直接求解也可以是快速有效，解答简洁、优美、自然，在解决数学问题时，若能对问题多做一些辩证思考，用一分为二的思想看问题，就能创设更加广阔的思维空间，提高认识数学问题的层次、拓展数学的视野，优化思维品质，实现从有限(方法)到无限(问题)的飞跃.

1 侯典峰.一道三角题的直接证明［J］.中学数学.2009，3(上)

2 侯典峰.再谈一道三角题的证明［J］.中学数学.2011，1(上)

3 侯典峰.化冰冷的美丽为绽放的绚丽——例谈题解研究［J］.数学通讯.2011，1、2(上)

4 沈文选，杨清桃.数学思想领悟［M］.哈尔滨工业大学出版社.2008，1