曾泰山，鲁春元，陈 剑

(1.中山大学数学与计算科学学院，广东 广州 510275；2.广东药学院医药信息工程学院，广东 广州510006;3.佛山科学技术学院数学系，广东 佛山528000)

近年来，模型降阶越来越受到重视。它可以大大降低大规模系统模拟和控制中的时间复杂度，在超大规模集成电路设计，实时控制，天气预报等领域有着重要应用。关于模型降阶的综述，参见文献[1-2]。

给定矩阵A∈Rn×n，B∈Rn×p和C∈Rq×n，线性时不变系统可以表示成：

(1)

y(t)=Cx(t)

(2)

其中t≥0表示时间变量，u(t)∈Rp表示输入，y(t)∈Rq表示输出，x(t)∈Rn表示系统的状态。n是系统的阶。p和q是系统的输入和输出个数。当系统的阶n很大的时候，由于需要大规模计算和存储，这使得系统的数值模拟和控制非常困难。解决这一问题的一种关键方法是构造一个低阶的系统去逼近原始的高阶系统，并保持相应的系统特性。

(3)

(4)

定义全阶系统(A,B,C)的传递函数为

G(s)=C(sI-A)-1B,s∈C

方程 (3) 和 (4) 描述的降阶系统的传递函数为

CU(sI-UTAU)-1UTB,s∈C

(5)

CU(sI-UTAU)-1UTB

(6)

定义代价函数

(7)

(8)

[U]:={UQm|Qm∈Om}

其中,Om表示所有m×m正交矩阵构成的正交群，U∈Rn×m满足UTU=I。由定义可知，等价类[U]中的矩阵的列向量张成的线性子空间相同。 在实际计算中，我们将选择其中一个正交矩阵U∈Rn×m来代表整个等价类。关于Grassmann流形的几何性质，参看文献 [10-11]。

由方程 (6) 以及代价函数J(U)的定义 (7)可以看出

J(U)=J(UQm),∀Qm∈Om

(9)

通过利用 Grassmann 流形的几何性质，我们将提出求解问题 (9) 的数值算法。

在 (6) 定义的误差传递函数Ge(s)可改写为

Ge(s)=Ce(sI-Ae)-1Be,s∈C

实际上，矩阵Ae，Be和Ce定义了一个系统实现为(Ae,Be,Ce)的误差系统。Ge称为是误差系统的传递函数。误差系统的可控性Gramian矩阵Ec和可观测性Gramian矩阵Eo由如……