甘 柳,欧阳资生

(湖南商学院 财政与金融学院，长沙 410205)

1 预备知识及模型定义

文献[3]提出了一类称为复合Poisson-Geometric过程的计数过程,并建立了如下模型∶

其中U(t)为保险公司在t时刻的盈余量,c为单位时间内收取的保费,u≥0为公司的初始盈余,{N(t);t≥0}是参数为λ,ρ的复合Poisson-Geometric过程,Xi表示第i次索赔额。针对模型(1),文献[3]给出了其破产概率所满足的更新方程,并在索赔额Xi服从指数分布时,得到了破产概率的显示表达式。

文献[4]在考虑了常利率的情况下将模型(1)推广为如下形式∶

本文给出了模型(3)初始资产为u时生存概率所满足的积分方程,以及初始资产为0时的生存概率的精确解。

为了保证保险公司的经营稳定,每个险种的单位时间内的保费收入应都大于其单位时间内的理赔,即

这里c=c1+c2.本文恒设式(4)成立。

定义1 设λ＞0,0≤ρ＜1,称{N(t);t≥0}是参数为λ,ρ的复合Poisson-Geometric过程,如果

(1)N(0)=0;

(2){N(t);t≥0}具有平稳独立增量;

(3)对t≥0 有N(t)～PG(λt,ρ).

注1：易得

注2：当ρ=0时,复合Poisson-Geometric过程退化成Poisson过程,可见前者是后者的推广。

2 生存概率所满足的更新方程

破产时刻表示为Tδ=inf{t:Uδ(t)＜0},则破产概率表示为ψδ(u)=P(Tδ＜∞|Uδ=u),生存概率为φδ(u)=1-ψδ(u)。

定理2 模型(3)的生存概率φδ(u)所满足的更新方程为

证明：对于充分小的时间Δt,考虑(0,Δt]内发生索赔的情况,利用全概率公式有

3 φδ(0)的精确解

然后将Fρ(x)和Gρ(x)的平衡分布F1ρ(x)与G1ρ(x)代入上式得到

其中Zδ∗G1ρ是Zδ和G1ρ(u)的Stieltjes卷积。

对式(7)两边取Laplace变换并整理得到

式(8)化简为

利用rδ(0)=1,式(10)中令s=0 就得到

由于δ＞0,利用常微分方程的方法我们解得式(9)

[1] GrandellJ.Aspects of RiskTheory[M].NewYork∶SpringerVerlag,1991.

[2] Sundt B,Teugels J L.Ruin Estimate under Interest Force[J].Insurance∶Math Econom,1995,(16).

[3] 毛泽春,刘锦萼.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型及破产概率[J].应用数学学报,2005,26(3).

[4] 熊双平.索赔次……