李建军

2010年高考数学四川卷理科（20）题：

已知定点A（-1，0），F（2，0），定直线l：x= ，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍。设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N。

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由。

此题第（Ⅰ）小题是以人教社教材中的例题直接改编的。第（Ⅱ）小题暗含数学探究，考查了解析几何的通性通法．通过思考与探究，本题（Ⅱ）也含有教材背景，其数据可以推广到一般情形，本题的双曲线可推广到椭圆、抛物线。

解：（Ⅰ）设P（x，y），则 （x-2）2+y2=2|x- |，化简得x2- =1（y≠0）。

（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0），与双曲线方程x2- =1（y≠0）联立消去y得:

（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0

由题意知，3-k2≠0且△>0。

设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2= ，x1x2= ，

y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x2+x2）+4]

=k2

因为x1，x2≠1，所以直线AB的方程为y= （x+1），因此M点的坐标为（ ， ），FM=（- ， ）。

同理可得FN=（- ， ）。

因此FM·FN=（- ）×（- ）+

②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2，则B（2，3），C（2，-3），AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（ ， ），FM=（- ， ）。

同理可得FN=（- ，- ）。

因此FM·FN=（- ）×（- ）+（- ）× =0，

综上，FM·FN=0，即FM⊥FN。

故以线段MN为直径的圆过点F。

这道试题的数据可推广到一般情形，得到命题1。

命题1：设双曲线 - =1，A为左顶点，F为右焦点，右准线为l：x= ，过F的直线与双曲线交于B，C，AC，AB分别交l于M，N两点，那么，以MN为直径的圆过F。

命题1的证明可仿上面进行，此处从略。

类比命题1，通过思考与探究，得到了命题2和命题3。

命题2：设椭圆 + =1，A为左顶点，F为右焦点，右准线为l：x= ，过F的直线与椭圆交于B，C，AC，AB分别交l于M，N两点，那么，以MN为直径的圆过F。

证明：当BC斜率不存在时，易证MF⊥NF。

当BC斜率存在时，设BC：y=k（x-c），且B（x1，y1）,C（x2，y2）。

b2x2+a2y2=a2b2，

y=k（x-c）。

（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0。

从而x1+x2= ，x1x2= 。

y1y2=k2[x1x2-c（x1+x2）+c2]

=k2

= 。

又直线AM的方程为y= （x+a），所以M[ ， （x+a）]，从而

FM=[ ， （a+ ）]，FN=[ ， （a+ ）]。

FM·FN= + ·

= + ·

= ＋

= - · = - =0。

所以FM·FN=0。

综上，总有以 为直径的圆过F。

命题3：设抛物线y2=2px，F为焦点，O为顶点，过F的直线交抛物线于B，C两点，OB，OC分别交准线于x=- 于M，N两点，那么，以MN为直径的圆过F点。……