张福珍

（1.中国矿业大学理学院，江苏徐州 221008；2.九州职业技术学院高等数学教研室，江苏徐州 221116）

一类分数阶边值问题积分共振条件解的存在性

张福珍1,2

（1.中国矿业大学理学院，江苏徐州 221008；2.九州职业技术学院高等数学教研室，江苏徐州 221116）

利用Mawhin的连续性定理及迭合度理论，讨论了一类分数阶非线性微分方程带积分共振边界条件解的存在性，得到了解存在的充分条件.

迭合度；分数阶；共振

微分方程共振边值问题起源于物理问题，因为共振问题具有很强的实际背景，近年来受到国内外学者的广泛关注[1，2].分数阶微积分理论及分数阶微分方程在科学、工程和数学等领域已得到了重要应用，例如已成功应用于粘弹性材料、信号处理、控制、生物等领域[3].由于分数阶微分方程的理论研究刚起步，分数阶微分方程边值问题作为其研究的重要分支之一，近年来已获得了不少研究成果，参见文献[4-15].

本文考虑一类分数阶非线性微分方程共振积分边值问题解的存在性:

其中1＜α≤2,e(t)∈L1[0,1]，m≥1，f：[0,1]×R2→R连续,g：[] 0,1→[)

0,∞为不减函数，并且满足g(0)=0.边界条件（2）中所含积分为Riemann-Stieltjes积分.,I分别表示标准的Riemann-Liouville型分数阶导数和积分.

为了证明BVP（1）（2）有解及计算的方便，我们始终假设如下条件成立：

1 预备知识

首先介绍Mawhin连续定理：

设Y，Z是实Banach空间，L:domL⊂Y→Z是一个指标为零的Fredholm算子，P:Y→Y,Q:Z→Z是连续投影算子且满足ImP=KerL,KerQ=ImL,Y=KerL⊕KerP,Z=ImL⊕ImQ.

则映射L|domL∩KerP:domL∩KerP→ImL是可逆的，记这个映射的逆映射为Kp，令N:Y→Z是一个映射，Ω是Y的一个有界开集且满足domL∩Ω≠∅，如果QN()有界，Kp(I-Q)N:→Y是紧的，则称N是L-紧的，设J:ImQ→KerL是一个线性同构……