葛正浩, 翟志恒,, 姚卫民, 孟宪坤

(1.陕西科技大学机电工程学院， 陕西 西安 710021;2.咸阳西北医疗器械(集团)有限公司， 陕西 咸阳 712000)

0 引 言

在实际工程结构的设计中，动力学设计和分析是必不可少的一项工作.在机械行业很多领域都会接触到大量的旋转结构，这些结构一般来说在整个机械中占有极其重要的地位，它们的损坏大部分都是由于共振引起较大振动应力而导致的.同时由于处于旋转状态，它们所受外界激振力比较复杂，更要求对这些关键部件进行完整的动力学设计和分析.

模态分析是用来确定结构振动特性的一种技术，通过它可以确定自然频率、振型和振型参与系数.模态分析可以使结构设计避免共振或以特定频率进行振动,明确结构对于不同类型的动力载荷是如何响应的，有助于在其他动力学分析中估算求解控制参数.

1 齿轮的固有振动分析

2 齿轮的模态分析

由弹塑性力学可知，齿轮系统的运动方程为：

本文所研究的是直齿圆柱齿轮自由振动类型，因此可设{F(t)}=0，得到自由振动方程，又由于阻尼对模态分析的影响不大，可令[C]=0，从而得到无阻尼的自由振动方程：

其对应的特征值方程为：

式中，ωi为第i阶模态的固有频率，{xi}为第i阶模态的主振型.i=1,2,…,n.特征值ωi及其对应的特征向量{xi}称为该振动系统的特征对，{xi}代表齿轮按ωi振动时各坐标点之间的相对振幅，称为齿轮的第i阶主振型或模态，齿轮的模态矩阵为

[X]=[{x1}{x2}…L{xn}]

这时的振动系统一般存在n个固有频率和n个主振型，每一对频率和振型代表一个单自由度系统的自由振动，这种在自由振动时结构所具有的基本振动特性称为结构的模态.多自由度系统的自由振动可以分解为n个单自由度的简谐振动的叠加，或者说系统的自由振动是n个固有模态振动的线性组合.这就意味着多自由度系统一般说来不是作某一固有频率的自由振动，而是多个固有频率的简谐振动的合成.

由振动理论可知，在结构的振动过程中起主要作用的是较低阶的固有频率和对应的振型，并且由于结构阻尼的存在，高频所对应的振型将迅速衰减，因此求解高阶频率没有实际意义，为此本研究在对齿轮进行模态分析时选取前15阶固有频率进行分析,这样既能得出对齿轮影响较大的固有频率和振型值，又能加快求解速度.

3 齿轮有限元模态分析

根据传动机构的设计要求及结构特点，计算得出直齿圆柱齿轮初始参数：

齿顶直径24 mm；齿底直径20 mm；齿数10；厚度8 mm，中间厚3 mm；弹性模量2.06×105MPa；体积质量7.8×103kg/m3.

3.1 建立齿轮模型

在齿轮造型中，齿廓曲线的生成是最困难、最重要的环节，特别是在有限元分析时，轮齿曲线的精确度影响着有限元分析结果的准确性.利用Pro/E软件构造直齿轮三维模型，借助Pro/E建模过程中所使用的渐开线及螺旋线的方程，可得到更为精确的直齿轮三维模型.将建立好的齿轮导入到ANSYS中，就可以在两个软件间实现无缝连接.导入后的齿轮有限元模型如图1所示.

图1 齿轮模型 图2 齿轮网格划分结果

3.2 定义单元属性

在进行齿轮面建模前，需定义齿轮的单元类型，包括单元类型、单元实常数、材料属性等.根据分析类型，对此直齿圆柱齿轮选用实体单元类型Solid，并选择Brick 20node 186选项，选择20节点三维单元SOLID 186并进行单元添加.对材料属性的定义时，定义材料的弹性模量为2.06×105MPa，并设定泊松比为0.3，体积质量为7.8×103kg/m3.

3.3 齿面网格划分

在进行齿面网格划分时，采用Brick 20node 186选项，选择20节点三维单元SOLID 186的形式，齿轮网格划分后的结果如图2所示.

3.4 模态分析设置

在模态分析过程中，建立有限元模型后，就需要进行模态分析设置.定义分析类型为MODAL，并采用Block Lanczos法(分块兰索斯法)来提取模态，设定No.of nodes to extract域输入提取的模态数目为15，Expand mode to shaps设置为Yes，在No.of nodes to expand域输入要扩展的模态数目为15，设定完成后需在Block Lanczos法中设定StartFreq(initial shift)为0，End Frequency为100 000.

3.5 施加边界条件并求解

对齿轮进行模态分析的目的是求出齿轮各阶固有频率及其对应主振型，因此不需对模型加载，只需对齿轮内孔圆柱面进行自由度约束.选择欲施加位移约束的内孔圆柱面上的一个关键点，并设定其约束方向为ALL DOF.

完成边界条件的施加后，利用求解器将固有频率输出，固有频率被写到输出文件*.OUT及振型文件*.MODE中.由于振型还未被写到数据库或结果文件中，因此还不能对结果进行后处理，需对模态进行扩展后方可进行后处理.

3.6 模态扩展设置及扩展求解

扩展模态适用于多种模态提取方法，如果想在后处理器中观察振型，必须先进行模态扩展，将振型写入结果文件.模态扩展要求振型文件*.MODE、文件*.EMAT、*.ESAV及*.TRI必须存在,数据库中必须包含和解算模态时所用模型相同的分析模型.在进行模态扩展设置时，需再次进入求解器，在扩展分析中设定No.of nodes to expand域输入要扩展的模态数目为15，频率范围为0～10 000，输出控制部分设定被控制项为All Item，并采用每一子步频率输出.设定完成后进行扩展求解，得到求解数据文件.

图3 分析结果的列表显示

4 模态分析结果及分析

模态分析的结果(即模态扩展处理的结果)被写入到结构分析结果文件*.RST中.分析结果包括固有频率、已扩展的振型、相对应力和力的分布.求解完成后得出齿轮的15阶固有频率,生成结果文件可进行后处理操作.通过读取各阶模态，求出齿轮在每一阶固有频率下的主振型.图3为1阶至15阶下的固有频率数值.

由于之前对齿轮进行了模态扩展，所以对于图3列表的每一阶固有频率，程序均可求解出每一阶固有频率下的主振型.利用ANSYS通用后处理器可对其进行观察和分析，并可对各阶模态振型进行动画显示.现对固有频率分别为0 Hz、0.105 32×10-4Hz、0.169 87×10-4Hz、2.886 6 Hz、4.544 8 Hz、5.124 9 Hz、9.863 6 Hz、9.891 9 Hz、17.219 Hz、17.421 Hz、21.66 Hz、24.808 Hz、24.846 Hz、27.904 Hz、32.019 Hz时的传动齿轮求解其主振型，并对各阶主振型进行归纳分析，并得出结论.

根据1至6阶固有频率下的主振型可知，固有频率分别为0 Hz、0.105 32×10-4Hz、0.169 87×10-4Hz、2.886 6 Hz、4.544 8 Hz、5.124 9 Hz时，相应主振型基本无变化，变形基本可不计，不会发生共振现象，可确定传动件在受到0～5.124 9 Hz激振力作用下齿轮系统稳定可靠.

在固有频率分别为9.863 6 Hz、9.891 9 Hz的第7阶及第8阶固有频率下对应的主振型见图5及图6，从图中可以看到，第7阶固有频率所对应的振型是沿XZ平面内的对折振，并绕Y轴扭转，第8阶固有频率所对应的振型是沿YZ及XZ平面内的对折振，且第7阶及第8阶的最大应力均发生在齿轮的4个牙顶处，大小分别为299 Pa和293 Pa.

图4 齿轮在1至6阶固有频率下的主振型

图5 齿轮在第7阶固有频率下的主振型 图6 齿轮在第8阶固有频率下的主振型

在固有频率分别为17.219 Hz、17.421 Hz时，第9阶及第10阶固有频率下对应的主振型分别如图7及图8所示.从图中可以看到，第9阶及第10阶固有频率所对应的振型均沿X轴方向伸缩振动，且齿轮安装孔圆周度也发生变化，趋于椭圆化，其最大应力的分布方向趋于90°，且分别达到199 Pa及194 Pa.

图7 齿轮在第9阶固有频率下的主振型 图8 齿轮在第10阶固有频率下的主振型

在固有频率分别为21.66 Hz、27.904 Hz、32.019 Hz时，主振型如图9所示，第11阶固有频率下对应的主振型所表现的特征是齿轮各齿的同向弯曲振动；第14阶固有频率下对应的主振型所表现的特征是齿轮各齿的同向弯曲振动且最大振幅在齿轮内台阶面处，台阶面沿Y轴扭转，齿牙基本无变形，且受力均匀无最大应力存在.第15阶固有频率下对应的主振型与第14阶固有频率下对应的振型相似.

在固有频率分别为24.808 Hz、24.846 Hz时，第12阶固有频率下对应的主振型如图10所示表现的特征是沿XZ平面内的正向对折振，且沿YZ平面内的反向对折振，同时振幅发生在齿顶处；第13阶固有频率下对应的主振型与第12阶固有频率下对应的振型类似.

图9 齿轮在第11、14、15阶固有频率下的主振型

图10 齿轮在12、13阶固有频率下的主振型

求得各阶频率下的主振型后，根据之前第15阶固有频率下的求解结果，进一步得出齿轮径向位移及von Mises等效应力分布图，分别如图11及图12所示.从图中可以看出，其边缘处的最大径向位移是0.199 mm， von Mises等效应力的最大值为42.4 MPa.

图11 径向变形图 图12 von Mises等效应力分布图

5 结束语

本文基于Pro/E软件建立了直齿圆柱齿轮的三维实体模型，并利用ANSYS软件中的导入功能建立了直齿圆柱齿轮的三维有限元模型.通过对齿轮有限元模型的动力学模态分析，求出了齿轮的各阶固有频率和对应的主振型，可作为在机构设计过程中使外界激励响应的频率避开齿轮的固有频率的理论参考，避免齿轮所在的传动系统发生共振现象.同时通过求解结果测定了其径向变形的最大变形程度，并得到von Mises应力的最大值及其应力分布图，为齿轮机构的设计提供了理论依据.

参考文献

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