王理凡

(金华职业技术学院,浙江金华321007)

非线性微分方程在物理学、工程学中都有着广泛的应用,特别是可用于描述带有非均匀边界条件的物理背景中的各种非线性波动现象的动力学机制。Bäcklund变换现已成为求解某些非线性偏微分方程的有力工具,是可积系统方面的一个重要研究领域。文献 [1]研究了形如:

的非线性偏微分方程由可积系统:

定义的Bäcklund变换u→v的分类,证明了这样的非线性偏微分方程只能是Burgers方程:

相应的可积系统是:

下面,笔者将在以上研究的基础上,将Bäcklund变换反复作用于Burgers方程的零解,从而得到Burgers方程的许多精确解,进而分析Burgers方程光滑和 (或)奇异扭结解相互作用的过程,并通过部分图形描述、分析非线性波动现象。

设u为Burgers方程 (3)的一个解,则由可积系统 (4)的第1个方程可得:

式中,c(t)是积分常数。将式(5)代入系统(4)的第2个方程可以得到函数c(t)所满足的常微分方程,由该常微分方程的解即可得到Burgers方程的解。

结果1 将u0(x,t)≡0代入系统(4)并取参数λ=λ1可得Burgers方程的解:

注1 u1是行波解。当参数λ1＞0时,它是一个光滑扭结,而当λ1＜0时,它是一个奇异扭结。

例1 当λ1=1时,u1是一个光滑扭结;当λ1=-1时,u1是一个奇异扭结 (见图1)。

结果2 将u1(x,t)代入(4)并取参数λ=λ2可得Burgers方程的解:

注2 u2可看成是2个光滑和(或)奇异扭结的相互作用,共有以下3种情形:①u2若是2个光滑扭结相互作用的过程,结果是1个光滑扭结;②u2若是1个光滑扭结与1个奇异扭结的相互作用,结果是1个奇异扭结;③u2若是2个奇异扭结相互作用的过程,结果也是1个光滑扭结。……