李艳艳

(咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000)

某种几何中的曲线曲面运动与非线性演化方程密切相关。很多学者已经从一些几何中的曲线曲面运动中得出了许多可积方程，从而为这些可积方程提供了新的几何解释，极大地丰富了可积方程的几何背景。例如，Hasimoto[1]从不可伸缩旋线运动中得到了可积的非线性Schrödinger方程。Goldstein 等[2]把mKdV方程和它的梯队与欧氏平面中的不可伸缩的曲线运动联系起来。Doliwa等[3]发现非线性Schrödinger 梯队和复mKdV方程产生于S3(R)上的曲线运动，这里的半径R起谱参数的作用。Nakayama等[4]通过考虑欧氏平面中的非局部曲线运动得到了sine-Gordon方程。Schief等[5]研究了具有常曲率或挠率的副法线的曲线运动，获得了延拓的Harry-Dym方程和sine-Gordon方程。屈长征等[6-7]系统地讨论了Klein几何中的不可伸缩曲线运动, 证明了很多可积方程产生于这种曲线运动。Beffa等[8]研究了黎曼流形中不可伸缩的曲线运动，建立了不变曲线流和相应的可积方程间的对应。

Myrzakulov等[7, 9-12]通过对三维欧氏空间，中心仿射空间，仿射空间以及高维的相似空间中的1+1维的空间曲线运动公式赋予一个额外的空间变量y而得到相应空间中的2+1维的空间曲线运动公式, 同时获得2+1 维的Ishimori , Myrzakulov I , MyrzakulovIII 方程, 2+1维的等距Heisenberg 铁磁模型，2+1维的Schrödinger和2+1维的可积浅水波等方程。

与欧氏几何等经典的几何相比，关于中心仿射几何的讨论是很少的，只有在一些仿射几何的书中我们才可以找到关于中心仿射几何的介绍。近来，屈长征等[6-7]研究了2-维和3-维中心仿射几何中的曲线曲面运动，但是对更高维的曲线曲面运动没有进行研究。……