●赵临龙 (安康学院数学系 陕西安康 725000)

对偶原理下的Menelaus定理与Ceva定理的统一

●赵临龙 (安康学院数学系 陕西安康 725000)

在欧氏几何中，主要研究“三点共线”与“三线共点”问题的2个重要定理:梅内劳斯(Menelaus)定理和塞瓦(Ceva)定理．而在射影几何中，可利用对偶原理将梅内劳斯定理和塞瓦定理统一起来，充分揭示两者的本质联系．

1 Menelaus定理与Ceva定理

1．1 Menelaus定理

梅内劳斯作为一名古希腊的天文学家和数学家，关于圆中的弦撰写了6本论著．这些著作和梅内劳斯的许多其他著作都失传了．幸运的是梅内劳斯的3卷《球面几何》以阿拉伯文保存了下来，这部著作在希腊三角学的发展中起着重要的作用．第3卷展示了当时的球面三角学，著名的梅内劳斯定理作为本书的重要基础［1］．

命题 1(Menelaus定理)［1］一直线与△ABC的3条边BC，CA，AB或延长线分别相交于点X，Y，Z，则

1．2 Ceva定理

塞瓦是意大利著名的经济学家、水利专家和几何学家，曾在重心计算法的研究上独树一帜，并取得了卓越的成就．他在研究各种图形的重心性质时，同时得到了直线性质，塞瓦定理正是在他本人所著的《直线论》一书中首先发表的［1］．

命题2(Ceva定理)［1］在△ABC内任取一点O，直线 AO，BO，CO 分别交对边于点 X，Y，Z，则

图1

图2

2 Menelaus定理与Ceva定理的统一

在射影几何中，规定:平行线相交于无穷远(如通常的太阳“平行光”就是相交于无穷远点的“太阳”)［2］．

在射影几何中，将一个命题的“点”换成“直线”，同时将“直线”换成“点”，并保持原有结构关系不变，所得到的新命题与原命题是“互为对偶命题”，并且2个互为……