●沈文选 (湖南师范大学数学奥林匹克研究所 湖南长沙 410081)

再谈三角形内切圆的几个性质及应用

●沈文选 (湖南师范大学数学奥林匹克研究所 湖南长沙 410081)

笔者在文献［1］中介绍了三角形内切圆的几个性质及应用，以下是笔者再次给出的几个性质及应用．

性质7设△ABC的内切圆分别切边BC，CA，AB于点D，E，F，记以A为圆心，AE为半圆的圆为W，直线DE交圆W于点G，点H在圆W上，则GH为圆W的直径的充要条件是H，F，D三点共线．

证明如图1，注意到△AEG和△CED均为等腰三角形，且底角相等，则知其顶角相等，即

注意到△AHF和△BDF均为等腰三角形⇔其对应底角相等，即∠AFH=∠BFD⇔H，F，D三点共线．

推论3设△ABC的内切圆分别切边BC，CA，AB于点D，E，F，直线DE，DF分别交过点 A且与BC平行的直线于点G，H，直线AD交内切圆于点L，则 AG=AH，且∠GDH+∠GLH=180°．

事实上，由AE=AF并注意到图中的等腰三角形可得AG=AH;由∠GAL=∠LDB=∠LED知A，L，E，G 四点共圆，于是∠ALG=∠CDG．同理可得∠ALH=∠BDH，由此即可得

图1

图2

由式(1)，式(3)可知，G，E，F 三点共线．

必要性当G，E，F三点共线时，如图2，连结GI交DL于点R，则IR⊥DL．

类似于充分性证明．由FI2=ID2=IR·IG，可证得 F，I，R，E 四点共圆．又 A，F，I，E 四点共圆，得∠IRA=∠IEA=90°，从而 IR⊥AR，故 A，L，D 三点共线．

性质9设△ABC的内切圆为⊙I，点D，E，F依次为⊙I上3个点(点D在优弧上，且与点A，I不共线)，EF与AI交于点K，且K为EF的中点，则E为AC与⊙I的切点(或F为AB与⊙I的切点)的充要条件是△IDK∽△IAD．

证明如图3，显然AI⊥EF．

注意到∠EIK公用，得△IEK∽△IAE，即∠IEA=∠IKE=90°，因此 AE与⊙I切于点E，且AE为过定点与⊙I右侧相切的直线，而这样的直线是唯一的，于是E为AC与⊙I相切的切点．

同理可得，F为AB与⊙I的切点．

必要性当E为AC与⊙I的切点时，则由对称性(即K为EF中点)知点F必为AB与⊙I的切点，反之亦真．此时，显然有式(2)，即△IDK∽△IAD．

图3

图4

推论4设△ABC的内切圆分别切边BC，CA，AB于点D，E，F，直线……