226364 江苏南通通州区赵甸初中 金建华

面积问题的解法探究和思考

226364 江苏南通通州区赵甸初中 金建华

1 问题的提出

原题 (2010年四川绵阳)如图1，抛物线 y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为 A(－4，0)，B(2，0)，与 y轴交于点 C，顶点为 D.E(1，2)为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴，y轴分别交于F，G.(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标;(2)若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大?并求出最大面积.

图1

答案的质疑与思考 本题条件是“点K在x轴上方的抛物线上”，但参考答案只对“xF＜t＜xE”作了解答，那么“xA＜t≤xF”，“xE≤t＜ xB”会怎么样呢?笔者认为这是一个名副其实的“参考答案”，不够严谨.如果要完整地解答此题就必须分类讨论，分类表示S△EFK又是一个复杂的问题.

像这样的面积问题是近几年中考的热点之一，常结合一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题，具有一定的综合性.笔者研读了2009年和2010年部分中考试题及解答，一般都通过分割，建立面积函数，用函数知识解决问题.这些分割方法通常比较麻烦，有时还回避不了分类讨论.

2 解法探究

2.1 寻源

书本习题 人教版教科书91页习题19.1第8题:如图 2，直线 l1∥l2，△ABC和△DBC面积相等吗?你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?

解 显然，△ABC和△DBC面积相等，原因是这两个三角形同底等高.直线l1上任意一点P与B，C两点构成的△PBC与△ABC面积总相等.

启示 此题可以通过平行线，把三角形等积变形为其他更有利于解决问题的三角形.

2.2 探究

笔者进一步研究发现，这些问题通常可以分为两类，都可以用……